Главная » Самолетостроение » Физика (3 семестр) » 22. Решение уравнения Шредингера для частицы вбесконечно глубокой потенциальной яме. Энергетический спектр частицы.

22. Решение уравнения Шредингера для частицы вбесконечно глубокой потенциальной яме. Энергетический спектр частицы.

22. Решение уравнения Шредингера для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме. Энергетический спектр частицы.

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к ча­стице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)

\\

где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 296).

\\

Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

\\                                        (220.1)

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0 и х=1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные усло­вия в данном случае имеют вид

\                                                         (220.2)

В пределах «ямы» (0 £ х £ l) уравнение Шредингера (220.1) сведется к уравнению

\\

или

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\                                                   (220.3)

где

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\                                                        (220.4)

Общее решение дифференциального уравнения (220.3):

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\

Так как по (220.2) y(0)=0, то В=0. Тогда

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\                                                     (220.5)

Условие (220.2) y(l)=A sin kl = 0 выполняется только при kl = np, где n — целые числа, т. е. необходимо, чтобы

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\                                                       (220.6)

Из выражений (220.4) и (220.6) следует, что

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\                                               (220.7)

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потен­циальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Еn, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Еn частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Еn называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «по­тенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Еn, или, как говорят, частица находится в кван­товом состоянии n.

Подставив в (220.5) значение k из (220.6), найдем собственные функции:

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (216.3), которое для данного случая запишется в виде

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\

В результате интегрирования получим А = <![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\ <![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\, а собственные функции будут иметь вид

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\                                                          (220.8)

Графики собственных функций (220.8), соответствующие уровням энергии (220.7) при n = 1, 2, 3, приведены на рис. 297,а. На рис. 297,6 изображена плотность вероят­ности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная |yn(х)|2 = yn(х)y*n(х) для n=1,2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (220.7) вытекает, что энергетический интервал между двумя сосед­ними уровнями равен

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\                                               (220.9)

Например, для электрона при размерах ямы l=10–1 м (свободные электроны в метал­ле) DEn » 10–35n Дж » 10–16n эВ, т. е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (l»10–10 м), то для электрона DEn » 10–17n Дж » 102n эВ, т. е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким об­разом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконеч­но высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\

Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выво­ду, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная <![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\ <![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\. Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Dх частицы в «яме» шириной l рав­на Dx=l. Тогда, согласно соотношению неопределенностей (215.1), импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса Dp»h/l. Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия Emin»(Dp)2/(2m) = h2/(2ml2). Все остальные уровни (n>1) имеют энергию, превыша­ющую это минимальное значение.

Из формул (220.9) и (220.7) следует, что при больших квантовых числах (n>>1) DEn/En»2/n<<1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше n. Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последователь­ности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность — сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Более общая трактовка принципа соответствия, имеющего огромную роль в со­временной физике, заключается в следующем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения, причем в определенных пре­дельных случаях новая теория переходит в старую. Так, формулы кинематики и дина­мики специальной теории относительности переходят при v<<с в формулы механики Ньютона. Например, хотя гипотеза де Бройля приписывает волновые свойства всем телам, но в тех случаях, когда мы имеем дело с макроскопическими телами, их волновыми свойствами можно пренебречь, т. е. применять классическую механику Ньютона.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Дисциплины