» » »

22. Решение уравнения Шредингера для частицы вбесконечно глубокой потенциальной яме. Энергетический спектр частицы.

22. Решение уравнения Шредингера для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме. Энергетический спектр частицы.

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к ча­стице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)

\\

где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 296).

\\

Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

\\                                        (220.1)

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0 и х=1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные усло­вия в данном случае имеют вид

\                                                         (220.2)

В пределах «ямы» (0 £ х £ l) уравнение Шредингера (220.1) сведется к уравнению

\\

или

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\                                                   (220.3)

где

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\                                                        (220.4)

Общее решение дифференциального уравнения (220.3):

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\

Так как по (220.2) y(0)=0, то В=0. Тогда

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\                                                     (220.5)

Условие (220.2) y(l)=A sin kl = 0 выполняется только при kl = np, где n — целые числа, т. е. необходимо, чтобы

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\                                                       (220.6)

Из выражений (220.4) и (220.6) следует, что

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\                                               (220.7)

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потен­циальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Еn, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Еn частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Еn называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «по­тенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Еn, или, как говорят, частица находится в кван­товом состоянии n.

Подставив в (220.5) значение k из (220.6), найдем собственные функции:

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (216.3), которое для данного случая запишется в виде

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\

В результате интегрирования получим А = <![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\ <![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\, а собственные функции будут иметь вид

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\                                                          (220.8)

Графики собственных функций (220.8), соответствующие уровням энергии (220.7) при n = 1, 2, 3, приведены на рис. 297,а. На рис. 297,6 изображена плотность вероят­ности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная |yn(х)|2 = yn(х)y*n(х) для n=1,2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (220.7) вытекает, что энергетический интервал между двумя сосед­ними уровнями равен

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\                                               (220.9)

Например, для электрона при размерах ямы l=10–1 м (свободные электроны в метал­ле) DEn » 10–35n Дж » 10–16n эВ, т. е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (l»10–10 м), то для электрона DEn » 10–17n Дж » 102n эВ, т. е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким об­разом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконеч­но высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.

<![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\

Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выво­ду, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная <![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\\\\ <![endif] xmlns=http://disruptive-innovations.com/zoo/nvu>\. Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Dх частицы в «яме» шириной l рав­на Dx=l. Тогда, согласно соотношению неопределенностей (215.1), импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса Dp»h/l. Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия Emin»(Dp)2/(2m) = h2/(2ml2). Все остальные уровни (n>1) имеют энергию, превыша­ющую это минимальное значение.

Из формул (220.9) и (220.7) следует, что при больших квантовых числах (n>>1) DEn/En»2/n<<1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше n. Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последователь­ности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность — сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Более общая трактовка принципа соответствия, имеющего огромную роль в со­временной физике, заключается в следующем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения, причем в определенных пре­дельных случаях новая теория переходит в старую. Так, формулы кинематики и дина­мики специальной теории относительности переходят при v<<с в формулы механики Ньютона. Например, хотя гипотеза де Бройля приписывает волновые свойства всем телам, но в тех случаях, когда мы имеем дело с макроскопическими телами, их волновыми свойствами можно пренебречь, т. е. применять классическую механику Ньютона.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.