» » »

37. Вывод основного уравнения МКТ газов. Молекулярно-кинетическое истолкование давления и температуры. Закон Дальтона.

37. Вывод основного уравнения МКТ газов. Молекулярно-кинетическое истолкование давления и температуры. Закон Дальтона.

Вывод основного уравнения МКТ

Пусть имеется кубический сосуд с ребром длиной l и одна частица массой m в нём.

Обозначим скорость движения vx, тогда перед столкновением со стенкой сосуда импульс частицы равен mvx, а после — − mvx, поэтому стенке передается импульс p = 2mvx. Время, через которое частица сталкивается с одной и той же стенкой, равно Описание:.

Отсюда следует: Описание:

 

Так как давление Описание:, следовательно сила F = p * S

Подставив, получим: Описание:

Преобразовав: Описание:

Так как рассматривается кубический сосуд, то V = Sl

Отсюда: Описание:Соответственно, Описание: и Описание:.

Таким образом, для большого числа частиц верно следующее: Описание:, аналогично для осей y и z.

Поскольку Описание:, то Описание:. Это следует из того, что все направления движения молекул в хаотичной среде равновероятнытсюда Описание:

или Описание:.Пусть Описание: — среднее значение кинетической энергии всех молекул, тогда:

Описание:, откуда Описание:

Или PV=NkT

 

Молекулярно-кинетическое истолкование температуры и давления

Описание:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов связывает параметры состояния газа (P и Т) с характеристиками поступательного движения его молекул.

Стенки сосуда, в котором заключен газ, подвергаются непрерывной бомбардировке молекулами. В результате элементу стенки ΔS сообщается за время Δt = 1 с некоторый импульс Ft, который численно равен силе, действующей на ΔS. Отношение этой силы к величине ΔS дает давление, оказываемое газом на стенки сосуда. Вследствие хаотичности движения молекул давление газа на различные участки стенок сосуда одинаково.

Рассмотрим этот процесс детально. Пусть молекула массы m0 движется со скоростью перпендикулярно стенке. После абсолютно упругого соударения со стенкой, молекула будет двигаться в υ обратном направлении с той же скоростью. При этом молекула передает стенке импульс , равный изменению собственного импульса: Δ p 

. (5.11) Описание:За время Δt число молекул, достигших площадки ΔS, равно: Описание:где n – концентрация молекул (число молекул в единице объема).

Реально к площадке ΔS молекулы подлетают под разными углами. Однако с учетом полной хаотичности движения можно считать, что в любой момент времени вдоль каждой из 3х осей декартовых координат движется 1/3 молекул, причем половина этих молекул (1/6 от общего числа) движется вдоль данной оси в одну сторону, а другая половина – в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку ΔS равно:

Описание:а переданный ими импульс:

Описание:(5.12) Тогда давление газа на стенку сосуда

. Описание: (5.13)  

Желая подчеркнуть, что под величиной υ понимается средняя скорость движения молекул (хотя молекулы газа обладают безграничным набором скоростей), введем для нее обозначение <υ> и перепишем (5.13) в виде:

. (5.14) Описание:Учитывая, что величина Описание:представляет собой среднюю кинетическую энергию поступательного хаотического движения молекул, получим:

. (5.15) Описание:Давление в газе, таким образом, определяется средней энергией поступательного хаотического движения молекул.

Уравнения (5.10), (5.14), и (5.15) называются основными уравнениями молекулярно-кинетической теории Сопоставим между собой выражения (5.10) и (5.15). Поскольку левые части (5.10) и (5.15) определяют исходя из разных предпосылок одно и то же давление газа, можно приравнять правые части этих выражений:

Описание:Отсюда получим, что

, (5.16) Описание:

т.е. температура является мерой средней кинетической энергии хаотического движения молекул идеального газа. Из (5.16) следует, что при Т = 0 и = 0, т.е. при абсолютном нуле, прекращается поступательное движение молекул газа, следовательно, его давление равно нулю. Соотношение (5.16) раскрывает молекулярно-кинетический смысл понятия температуры.   K E

Сделаем в заключение одно замечание. Поступательное движение в пространстве молекулы идеального газа (по определению атомы идеального газа являются материальными точками) описывается тремя независимыми координатами: X, Y и Z. Поэтому говорят, что такая молекула имеет три степени свободы. Вследствие полной хаотичности движения можно, учитывая (5.16), считать, что энергия, приходящаяся на одну степень свободы,Описание:

Закон Дальтона: Рассмотрим смесь идеальных газов, заключенных в объеме V при температуре Т. Обозначим массы и молекулярные веса их:

m1,    m2,   m3 ....mn

m1,    m2,    m3 .... mn

Парциальным давлением газа, входящего в газовую смесь, называется то давление, которое имел бы этот газ, если бы он один занимал весь объем сосуда при данной температуре.

Тогда суммарное давление газовой смеси равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов - ЗАКОН ДАЛЬТОНА.

p = Spi,
где
 pi = (mi/miR·T/V - парциальное давление iой компоненты в смеси газов.

 


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.