Главная
»
Самолетостроение
»
Физика
»
Сложение гармонических колебаний.
Сложение гармонических колебаний.
Сложение гармонических колебаний
Если колебательная система одновременно участвует в двух (или более) независимых колебательных движениях, возникает задача - найти результирующее колебание. В случае однонаправленных колебаний под этим понимается нахождение уравнения результирующего колебания; в случае взаимно перпендикулярных колебаний - нахождение траектории результирующего колебания.
Метод векторных диаграмм
Рассмотрим вращающийся против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью w вектор А. Очевидно, что угол j = wt + j0 где j0 - начальный угол.
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image002.jpg)
Проекции вектора А на оси координат запишутся:
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image004.gif)
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image006.gif)
Видно, что проекции вращающегося вектора на оси координат по форме совпадают с уравнением гармонических колебаний, если угловой скорости вектора сопоставить угловую частоту колебаний, а начальному углу - начальную фазу.
Проводя аналогию дальше, можно сказать, что результат сложения двух однонаправленных колебаний можно получить следующим путем: необходимо сложить два вектора, а проекции суммарного вектора на оси координат будут являться уравнениями результирующего колебания. Рассмотрим этот метод на примере сложения двух колебаний с произвольными частотами. Пусть наше тело участвует в двух совпадающих по направлению колебаниях:
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image008.gif)
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image010.gif)
Сопоставим этим колебаниям два вектора А1 и А2, вращающихся с соответствующими угловыми скоростями.
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image012.jpg)
Сопоставляем колебаниям проекции векторов на ось y. Задача сложения колебаний сводится к нахождению проекции вектора А на ось y (амплитуда результирующего колебания) и угла f (фаза результирующего колебания).
Из очевидных геометрических соображений находим:
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image014.gif)
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image016.gif)
Отметим, что в общем случае сложения колебаний с разными частотами амплитуда результирующего колебания будет зависеть от времени. Если же частоты одинаковы, то
, то есть зависимость от времени исчезает. На языке векторной диаграммы это означает, что складываемые векторы при своем вращении не меняют своего относительного положения. В этом случае формулы для амплитуды и фазы результирующего колебания запишутся так:
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image020.gif)
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image022.gif)
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image024.gif)
Рассмотрим сложение двух однонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами, то есть
, и пусть для определенности
. Для простоты пусть начальные фазы и амплитуды этих колебаний равны. В результате сложения двух колебаний
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image030.gif)
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image032.gif)
получим уравнение суммарного колебания:
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image034.gif)
Полученное результирующее колебание не является гармоническим (сравни с уравнением (1)); такого вида колебания носят название биений, название понятно, если посмотреть на график колебаний.
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image036.gif)
Величина, стоящая перед синусом, меняется со временем относительно медленно, так как разность частот мала. Эту величину условно называют амплитудой биений, а разность складываемых частот
- частотой биений (циклической).
При сложении взаимно перпендикулярных колебаний необходимо найти уравнение траектории тела, то есть из уравнений колебаний типа x = x(t), y = y(t) исключить t и получить зависимость типа y(x).
например, сложим два колебания с одинаковыми частотами:
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image040.gif)
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image042.gif)
исключив время, получим:
![](http://koi.tspu.edu.ru/waves/ch1_6.files/image044.gif)
В общем случае это - уравнение эллипса. При A1=A2 - окружность, при
(m - целое) - отрезок прямой.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.