Потенциальное уравнение колебаний

В современной физике уравнение колебаний принято записывать в виде 

d²q/dt² + 2β (dq/dt) + ω₀² q = f(t) , ( 4 ) 

где 2β = R/I, ω₀² = D/I, а f(t) = U/I. Величину β называют коэффициентом затухания, а величину ω₀ – угловой(круговой, циклической) частотой колеблющейся системы. Причина разных названий для одной и той же величины ω₀ поясняется на странице, посвященной многоликости частоты колебаний. Уравнение (4) имеет обобщенный характер записи и приемлемо для любой формы движения. 

Проанализируем различие между уравнениями (3) и (4). То, что последовательность расположения слагаемых в левой части уравнений противоположна, не существенна, хотя, с точки зрения физики, запись уравнения (3) более логична. Гораздо существеннее то, что обе части уравнения (4) поделены на инертность I. В результате этого вторая производная оказалась с коэффициентом, равным 1. А ведь третье слагаемое в уравнении динамики (3) со второй производной координаты состояния есть не что иное, как запись второго закона Ньютона. В уравнении (4) это слагаемое стало первым и уже без коэффициента. 

Часто уравнение (4) записывают для механической прямолинейной формы движения в виде 

d²х/dt² + 2β (dх/dt) + ω₀² х = f(t) , ( 5 ) 

применяя для обозначения координаты состояния символ x. Тогда коэффициенты записываются так: 2β = r/m, ω₀² = k/m, где k – жесткость, r – сопротивление, а m – инертная масса. Решение уравнения колебаний (5) включает в себя тригонометрическую функцию и имеет вид: 

x = A cos(ω₀ t + φ₀ ) , ( 6 ) 

где A – длина радиус-вектора, пропорциональная реальной амплитуде колебаний; 
ω₀ t – число полных углов поворота радиус-вектора, равное реальному числу периодов колебаний; 
φ₀ – начальный угол поворота радиус-вектора, равный начальной фазе колебаний. 

Уравнение (6) называется в физике уравнением гармонических колебаний. Аналогичный вид имеет решение уравнения колебаний (5) для волнового движения, но в нем учитывается смещение центра координат векторной диаграммы в направлении движения волны с фазовой скоростью v. Суммарное смещение проекции конца радиус-вектора обозначается символом ξ и определяется уравнением: 

ξ = A cos(ω₀ t – kx + α) , ( 7 ) 

где k = ω₀ / v – волновое число; 
α – начальная фаза колебаний. 

Уравнение (7) отличается от уравнения (6) лишь формой представления начальной фазы колебаний. Вместо φ₀присутствует (– kx + α). Если волна распространяется в произвольном направлении (в частности, если это сферическая волна), то уравнение (7)имеет вид: 

ξ = (A/r) cos(ω₀ t – kr + α) , ( 8 ) 

где k – волновой вектор; 
r – радиус-вектор точки на поверхности фронта волны, проведенный из точечного источника колебаний. 

При r → 0 значение амплитуды (A/r) устремляется к бесконечности, что служит основанием для того, чтобы говорить о неприменимости уравнения (3) при r → 0. Но на самом деле это говорит об абстрактности предположения о существовании точечного источника. Современные теории строения вещества и поля, развитые в работах В.Пакулина (2010), О.Репченко (2008), В.Ацюковского(2003), указывают на то, что источники сферических волн имеют хоть и малые, но конечные размеры, и что амплитуды в непосредственной близости от этих источников имеют очень большие значения, быстро уменьшающиеся по мере роста модуля волнового вектора r. 

Следует иметь в виду, что уравнения (6-8) приобретают физическое содержание только после того, как приобретают физическое содержание величины х, ξ и A. Они могут отражать любую физическую величину, а не только длину.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.