» » »

9. Периодические сигналы. Пример периодического сигнала. Спектр периодической функции

Периодические сигналы.

Простейшим периодическим сигналом является гармоническое колебание    (тока,    напряжения,    заряда,    напряженности поля), определяемое законом:

src=img/9-1.jpg

при -∞<t<+∞.

Здесь A, Т, ω1, ψ — постоянные амплитуда, период, частота и

фаза.

Гармоническое колебание, определяемое выражением (2.1), иногда удобно представлять в одной из следующих комплексных форм:

src=img/9-2.jpg

Первой из этих форм соответствует векторное представление, изображенное на рис. (2.2а). а второй форме — на рис. (2.26).

src=img/9-3.jpg

Любой сложный периодический сигнал может быть представлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов, представленных при помощи ряда Фурье.

src=img/9-4.jpg

Подобный сигнал может быть представлен рядом Фурье в тригонометрической или комплексной формах:

   src=img/9-5.jpg

Совокупность коэффициентов An называется спектром сигнала и полностью определяет этот сигнал.

src=img/9-6.jpg

Значение рядов Фурье в современной технике очень велико. Наибольшее распространение представление сигналов рядом Фурье получило при исследовании процессов прохождении сигналов через электрическую цепь.

Для нахождения выходного сигнала достаточно учесть какие амплитудные и фазовые изменения претерпевает каждая гармоническая составляющая при прохождении через рассматриваемую систему.

Сигнал на выходе будет иметь вид:

src=img/9-7.jpg

1.      Спектры некоторых периодических сигналов.

1)     Периодическая последовательность прямоугольных импульсов.

Рассмотрим спектры периодической последовательности прямоугольных импульсов.

   src=img/9-8.jpg

Для периодической последовательности импульсов (рис. 2.5а) с амплитудой Е и длительностью τµ. применяя формулы (2.4), (2.5) и (2.6). находим среднее значение (постоянную составляющую):

src=img/9-9.jpg

С помощью ф-л (2.7) и (2.8) находим амплитуду и фазу n-гармоники

src=img/9-10.jpg

Подставляя в формулу, получим:

src=img/9-11.jpg

При другом выборе начала отсчёта времени функция e(t) является чётно относительно t:

src=img/9-12.jpg

Отношение периода следования импульсов к амплитуде импульса называют скважностью: src=img/9-13.jpg

Рассмотрим периодическую последовательность со скважностью 7

src=img/9-14.jpg

Спектр данной последовательности будет иметь вид:

src=img/9-15.jpg

2)     Последовательность пилообразных импульсов.

Подобные функции часто встречаются на практике в устройствах для развёртки изображения на экране кинескопа:

src=img/9-16.jpg

Так как эта функция является нечётной, ряд Фурье для неё будет содержать только синусоидальные члены:

src=img/9-17.jpg

3)     Последовательность треугольных импульсов.

Сумма первых трёх членов этого ряда изображена на рисунке. Более быстрое убывание амплитуд гармоник объясняется отсутствием разрывов (скачков) в функции:

src=img/9-18.jpg

Ряд Фурье для этой функции будет иметь вид:

src=img/9-19.jpg

4)     Распределение мощности в спектре периодической последовательности импульсов.

Полная мощность периодической последовательности импульсов определяется суммой средних мощностей, выделяемых постоянной составляющей и гармониками.

Если гармонику представить током, то:

src=img/9-20.jpg

Черта над функцией означает усреднение значения функции от времени; r – сопротивление.

  src=img/9-21.jpg мощность ограниченного спектра;                            P- мощность колебаний.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.