Главная » Самолетостроение » Теория информационных процессов и систем » 9. Периодические сигналы. Пример периодического сигнала. Спектр периодической функции

9. Периодические сигналы. Пример периодического сигнала. Спектр периодической функции

Периодические сигналы.

Простейшим периодическим сигналом является гармоническое колебание    (тока,    напряжения,    заряда,    напряженности поля), определяемое законом:

src=img/9-1.jpg

при -∞<t<+∞.

Здесь A, Т, ω1, ψ — постоянные амплитуда, период, частота и

фаза.

Гармоническое колебание, определяемое выражением (2.1), иногда удобно представлять в одной из следующих комплексных форм:

src=img/9-2.jpg

Первой из этих форм соответствует векторное представление, изображенное на рис. (2.2а). а второй форме — на рис. (2.26).

src=img/9-3.jpg

Любой сложный периодический сигнал может быть представлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов, представленных при помощи ряда Фурье.

src=img/9-4.jpg

Подобный сигнал может быть представлен рядом Фурье в тригонометрической или комплексной формах:

   src=img/9-5.jpg

Совокупность коэффициентов An называется спектром сигнала и полностью определяет этот сигнал.

src=img/9-6.jpg

Значение рядов Фурье в современной технике очень велико. Наибольшее распространение представление сигналов рядом Фурье получило при исследовании процессов прохождении сигналов через электрическую цепь.

Для нахождения выходного сигнала достаточно учесть какие амплитудные и фазовые изменения претерпевает каждая гармоническая составляющая при прохождении через рассматриваемую систему.

Сигнал на выходе будет иметь вид:

src=img/9-7.jpg

1.      Спектры некоторых периодических сигналов.

1)     Периодическая последовательность прямоугольных импульсов.

Рассмотрим спектры периодической последовательности прямоугольных импульсов.

   src=img/9-8.jpg

Для периодической последовательности импульсов (рис. 2.5а) с амплитудой Е и длительностью τµ. применяя формулы (2.4), (2.5) и (2.6). находим среднее значение (постоянную составляющую):

src=img/9-9.jpg

С помощью ф-л (2.7) и (2.8) находим амплитуду и фазу n-гармоники

src=img/9-10.jpg

Подставляя в формулу, получим:

src=img/9-11.jpg

При другом выборе начала отсчёта времени функция e(t) является чётно относительно t:

src=img/9-12.jpg

Отношение периода следования импульсов к амплитуде импульса называют скважностью: src=img/9-13.jpg

Рассмотрим периодическую последовательность со скважностью 7

src=img/9-14.jpg

Спектр данной последовательности будет иметь вид:

src=img/9-15.jpg

2)     Последовательность пилообразных импульсов.

Подобные функции часто встречаются на практике в устройствах для развёртки изображения на экране кинескопа:

src=img/9-16.jpg

Так как эта функция является нечётной, ряд Фурье для неё будет содержать только синусоидальные члены:

src=img/9-17.jpg

3)     Последовательность треугольных импульсов.

Сумма первых трёх членов этого ряда изображена на рисунке. Более быстрое убывание амплитуд гармоник объясняется отсутствием разрывов (скачков) в функции:

src=img/9-18.jpg

Ряд Фурье для этой функции будет иметь вид:

src=img/9-19.jpg

4)     Распределение мощности в спектре периодической последовательности импульсов.

Полная мощность периодической последовательности импульсов определяется суммой средних мощностей, выделяемых постоянной составляющей и гармониками.

Если гармонику представить током, то:

src=img/9-20.jpg

Черта над функцией означает усреднение значения функции от времени; r – сопротивление.

  src=img/9-21.jpg мощность ограниченного спектра;                            P- мощность колебаний.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Дисциплины