22. Одномерный закон распределения мгновенных значений случайной функции и связанные с ним основные характеристики
Случайный процесс обозначим случайной функцией X(t), значения которой в любой заданный момент времени не могут быть точно предсказаны, т. е. являются случайными величинами. Определенный вид x(t), принятый случайной функцией X(t)в результате опыта, называют реализацией случайной функции или процесса (рис. 2.21).
Под опытом или испытанием понимается, например, однократное включение источника случайного процесса на некоторое определенное время с соответствующей записью колебания. В результате многократного повторения опыта с данным источником можно получить множество реализаций процесса, внешне совершенно не похожих одна на другую. Для получения реализаций процесса таким путем необходима повторяемость условий испытаний. Во многих случаях повторяемость условий испытаний единственного источника не может быть соблюдена, так как параметры источника необратимо меняются во времени. В этих условиях следует оперировать понятием не единственного источника, а их множества. В результате опыта, предусматривающего параллельную работу источников, получаем множество реализаций. При этом источники могут быть неидентичными, их параметры имеют разброс и меняются во времени.
Случайный процесс полностью характеризуется бесконечным множеством реализаций, образующих ансамбль. Понятием ансамбля, состоящего из бесконечно большого или конечного, но достаточно большого числа реализаций (рис. 2.22), удобно пользоваться при установлении статистических закономерностей, свойственных случайным процессам. Совокупность мгновенных значений случайного процесса, заданного ансамблем, в произвольный момент времени называют сечением случайного процесса.
Если зафиксировать произвольный момент времени t1(рис. 2.22), т. е. получить сечение случайного процесса, то для этого сечения может быть вычислено распределение вероятности Ð(ŏ) непрерывной случайной величины Õ(t1):
и является производной по õ функции (2.77). Выражения (2.77) или (2.79) статистически полностью характеризуют значения случайной функции Õ(t) в заданный момент времени ttи выражают ее одномерный закон распределения. Если момент tt выбирать произвольно, то в соответствии с (2.77) и (2.79) можно получить одномерный закон распределения в виде зависимости от времени P(x,t) или p(x,t).
Если закон распределения зависит от рассматриваемого момента времени t, то говорят о нестационарности случайного процесса, о неоднородности его протекания во времени. Необходимым условием стационарности процесса является независимость одномерного закона распределения от времени, т. е. выполнение одного из равенств
отражающему достоверность того, что величина X(tt) обязательно примет одно из значений, находящихся в пределах от
— ∞ ДО + ∞•
Наряду с вероятностными характеристиками Р(х) и случайной величины могут рассматриваться ее числовые характеристики, или моменты случайной величины.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.