Графы (Представление графов в виде: матрицы смежности, списочными структурами с двумя адресными полями, массива списков смежных вершин, матрицы смежности для взвешенных графов. Операции над графами. Алгоритмы обхода графа в глубину

Алгоритм Прима

Этот алгоритм назван в честь американского математика Роберта Прима (Robert Prim), который открыл этот алгоритм в 1957 г. Впрочем, ещё в 1930 г. этот алгоритм был открыт чешским математиком Войтеком Ярником (Vojtěch Jarník). Кроме того, Эдгар Дейкстра (Edsger Dijkstra) в 1959 г. также изобрёл этот алгоритм, независимо от них.

Описание алгоритма

Сам алгоритм имеет очень простой вид. Искомый минимальный остов строится постепенно, добавлением в него рёбер по одному. Изначально остов полагается состоящим из единственной вершины (её можно выбрать произвольно). Затем выбирается ребро минимального веса, исходящее из этой вершины, и добавляется в минимальный остов. После этого остов содержит уже две вершины, и теперь ищется и добавляется ребро минимального веса, имеющее один конец в одной из двух выбранных вершин, а другой — наоборот, во всех остальных, кроме этих двух. И так далее, т.е. всякий раз ищется минимальное по весу ребро, один конец которого — уже взятая в остов вершина, а другой конец — ещё не взятая, и это ребро добавляется в остов (если таких рёбер несколько, можно взять любое). Этот процесс повторяется до тех пор, пока остов не станет содержать все вершины (или, что то же самое,  ребро).

В итоге будет построен остов, являющийся минимальным. Если граф был изначально не связен, то остов найден не будет (количество выбранных рёбер останется меньше ).

Алгоритм Крускала (или алгоритм Краскала) — алгоритм построения минимального остовного дерева взвешенного связного неориентированного графа. Алгоритм впервые описан Джозефом Крускалом в 1956 году.

Формулировка

Вначале текущее множество рёбер устанавливается пустым. Затем, пока это возможно, проводится следующая операция: из всех рёбер, добавление которых к уже имеющемуся множеству не вызовет появление в нём цикла, выбирается ребро минимального веса и добавляется к уже имеющемуся множеству. Когда таких рёбер больше нет, алгоритм завершён. Подграф данного графа, содержащий все его вершины и найденное множество рёбер, является его остовным деревом минимального веса.

[править]Оценка

До начала работы алгоритма необходимо отсортировать рёбра по весу, это требует O(E × log(E)) времени. После чего компоненты связности удобно хранить в виде системы непересекающихся множеств. Все операции в таком случае займут O(E × α(E, V)), где α — функция, обратная к функции Аккермана. Поскольку для любых практических задач α(E, V) < 5, то можно принять её за константу, таким образом общее время работы алгоритма Крускала можно принять за O(E * log(E)).

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.