Преобразование и новые координаты.
Рассмотрим следующую систему уравнений
\
Эти уравнения можно интерпретировать двояким образом:
Этот простой пример иллюстрирует
принцип, применимый и к
более сложным ситуациям. Мы будем
рассматривать системы уравнений, обычно записываемых в
виде произведения
матриц, интерпретируя их как преобразование всех точек в фиксированной
системе
координат. Однако та же самая система может интерпретироваться и как
изменение
системы координат.
Пусть необходимо повернуть точку Р(х,у) вокруг начала координат О на угол φ. Изображение новой точки обозначим P’(x’,y’). Существуют четыре числа а,b,c,d, такие, что новые координаты х’, y’ могут быть вычислены по значениям старых координат х и у из следующих уравнений
x'=ax+by
y'=cx+dy
Для получения значений а,b,c,d рассмотрим вначале точки (х, у) = (1, 0). Полагая х=1 и у=0 в этой системе получим
x’=a
y’=c.
Но в этом простом случае,как это видно из следующего рисунка, значения x’ и y’ равны соответственно cos φ и sin φ. Тогда будем иметь
а = cos φ
с
= sin φ
Аналогичным образом из второй половинки рисунка следует
b = - sin φ
d
= cos φ
Тогда исходную систему можно переписать
x’
= x cos φ – y sin φ
y
y’
= x sin φ + y cos φ
Поворот
Эта система описывает поворот вокруг
начала координат, но
обычно это не то, что требуется. Если требуется выполнить поворот
относительно
заданной точки (х0,у0),то
в этом уравнении можно заменить х на х-х0, у на
у-у0, x’
на x’-x0,
y’
на у‘-у0
x' –x0=(x-x0)
cos φ-
(y-y0) sin φ
y' – y0=(x-x0)
sin φ +
(y-y0) cos φ
(2)
Матричная запись
Система уравнений (2) может быть записана в виде одного матричного уравнения
[x’
y’]= [x
y]
или с использованием вектора столбца
=
уравнение переноса можно записать в
виде
[x’
y’]
=[x y 1] ,
но лучше записать в виде
\
Запись каждого преобразования в форме произведения матриц позволяет совмещать несколько преобразований в одном. Чтобы показать такое совмещение преобразований, объединим поворот с двумя переносами
Поворот на угол φ вокруг начала координат запишем в форме
[x’ y’ 1] = [x y 1]\
Выведем новую версию уравнения для описания поворота на угол φ вокруг точки (х0 у0). Это уравнение может быть выражено формулой
[x’ y’ 1] = [x y 1] R, где через R обозначена матрица 3 х 3.
Для нахождения этой матрицы R будем считать,
что преобразование
состоит из трех шагов с промежуточными точками (u1 v1),
(u2 v2).
Т’ =
[u2 v2 1]=[u1 v1 1] R0, где
R0 =
[x’ y’ 1] = [u2 v2 1] T, где
T =
\
Возможность комбинации этих шагов основано на свойстве ассоциативности матричного умножения
(А В) С = А (В С) или А В С
Теперь найдем
[x’ y’ 1] = [u2
v2 1]
T =
= ([u1 v1
1] R0)
T =
= [u1 v1
1] R0
T =
= ([x y 1]
T’)R0 T =
=
[x y 1]
T’R0 T =
= [x y 1] R
где
R=T’ R0 T
Это и будет искомая матрица, которая после выполнения матричного умножения даст
Где введены обозначения
c1 = x0
- x0
cos φ + y0
siun φ
c2 = x0
– x0 sin
φ – y0
cos φ .
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.