Векторы. Скалярное и векторное произведения векторов.

Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение: .

Теорема. (Свойства скалярного произведения.)

1). Скалярное произведение подчиняется закону коммутативности:

                         , .

2). Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой или векторы ортогональны:

              или  или .

3). Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

                           .

4).  .

   Доказательство. Все свойства очевидны из определения и их доказательства предоставляются читателям.

Теорема. (Свойство линейности скалярного произведения.)

1) Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов:

                     ,  .

2) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:

             , , .

   Доказательство. По свойству 4 предыдущей теоремы и по свойству проекции вектора на вектор (на ось) имеем:

.

Второе свойство доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Замечание. Скалярное произведение можно рассматривать как числовую функцию от двух переменных, определенную на декартовом квадрате  множества векторов :

                                        ,

т.е. , .

Тогда, свойства теоремы могут быть записаны так:

1) , ;

2) , , .

Первое из этих свойств называется свойством аддитивности функции f по первому аргументу, а второе – свойством однородности по первому аргументу. Если выполняются оба свойства, то говорят, что функция f линейна по первому аргументу. Отсюда происходит и название этих свойств скалярного произведения.

   В силу коммутативности,  скалярное произведение как функция двух переменных линейна и по второму аргументу, т.е. справедливы еще два свойства:

3) ,  ;

4) , , .

Теорема. (Скалярное произведение векторов в координатной форме.) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

   Другими словами, пусть , . Тогда

                             .                       (1)

   Доказательство. Учитывая, что скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю, а скалярный квадрат единичного вектора равен 1 , получаем:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть . Тогда .

   Доказательство. Эта формула нам уже известна. Здесь ее можно получить, используя равенство (1), в котором положим :

       ,

откуда и следует доказываемая формула.

Следствие доказано.

Следствие 2. Пусть , . Тогда

.

   Доказательство. Очевидно.

п.5. Смешанное и векторное произведения векторов в координатной форме.

Теорема. Пусть , , . Тогда:

1) ;

2) .

   Доказательство. 1) Используем свойство линейности векторного произведения:

.

   Далее, заметим, что векторные произведения коллинеарных векторов равны нулевому вектору:

                  .

Рассмотрим другие векторные произведения базисных векторов:

                                            рис.4.

, , .

Эти равенства легко устанавливаются с помощью рис.4.

Отсюда следует: 

, ч.т.д.

2) Воспользуемся только что доказанной формулой:

        .

Теперь, по теореме о скалярном произведении векторов в координатной форме, получаем:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. Векторное произведение часто записывают в форме определителя:

                          .

Разумеется это не определитель, а лишь форма записи векторного произведения. Она компактна и удобна для запоминания.

Следствие. Определитель не изменяется при круговой перестановке строк (столбцов) определителя. При транспозиции двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

   Доказательство. С одной стороны,

                  .

С другой стороны,

                  .

Но, , откуда и следует утверждение. Далее, т.к. , то

               .

Так как определитель не изменяется при транспонировании, то доказанное свойство справедливо и для столбцов определителя.

Следствие доказано.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.