Главная
»
Информационные системы
»
Компьютерная геометрия и графика
»
Векторы. Скалярное и векторное произведения векторов.
Векторы. Скалярное и векторное произведения векторов.
Скалярное произведение векторов.
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.
Обозначение:
.
Теорема. (Свойства скалярного произведения.)
1). Скалярное произведение подчиняется закону коммутативности:
,
.
2). Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой или векторы ортогональны:
или
или
.
3). Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
.
4).
.
Доказательство. Все свойства очевидны из определения и их доказательства предоставляются читателям.
Теорема. (Свойство линейности скалярного произведения.)
1) Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов:
,
.
2) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:
,
,
.
Доказательство. По свойству 4 предыдущей теоремы и по свойству проекции вектора на вектор (на ось) имеем:

.
Второе свойство доказывается аналогично.
Теорема доказана.
Замечание. Скалярное произведение можно рассматривать как числовую функцию от двух переменных, определенную на декартовом квадрате
множества векторов
:
,
т.е.
,
.
Тогда, свойства теоремы могут быть записаны так:
1)
,
;
2)
,
,
.
Первое из этих свойств называется свойством аддитивности функции f по первому аргументу, а второе – свойством однородности по первому аргументу. Если выполняются оба свойства, то говорят, что функция f линейна по первому аргументу. Отсюда происходит и название этих свойств скалярного произведения.
В силу коммутативности,
скалярное произведение как функция двух переменных линейна и по второму аргументу, т.е. справедливы еще два свойства:
3)
,
;
4)
,
,
.
Теорема. (Скалярное произведение векторов в координатной форме.) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Другими словами, пусть
,
. Тогда
. (1)
Доказательство. Учитывая, что скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю, а скалярный квадрат единичного вектора равен 1 , получаем:




, ч.т.д.
Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть
. Тогда
.
Доказательство. Эта формула нам уже известна. Здесь ее можно получить, используя равенство (1), в котором положим
:
,
откуда и следует доказываемая формула.
Следствие доказано.
Следствие 2. Пусть
,
. Тогда
.
Доказательство. Очевидно.
п.5. Смешанное и векторное произведения векторов в координатной форме.
Теорема. Пусть
,
,
. Тогда:
1)
;
2)
.
Доказательство. 1) Используем свойство линейности векторного произведения:



.
Далее, заметим, что векторные произведения коллинеарных векторов равны нулевому вектору:
.
Рассмотрим другие векторные произведения базисных векторов:

рис.4.
,
,
.
Эти равенства легко устанавливаются с помощью рис.4.
Отсюда следует: 


, ч.т.д.
2) Воспользуемся только что доказанной формулой:
.
Теперь, по теореме о скалярном произведении векторов в координатной форме, получаем:


, ч.т.д.
Теорема доказана.
Замечание. Векторное произведение часто записывают в форме определителя:
.
Разумеется это не определитель, а лишь форма записи векторного произведения. Она компактна и удобна для запоминания.
Следствие. Определитель не изменяется при круговой перестановке строк (столбцов) определителя. При транспозиции двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
Доказательство. С одной стороны,
.
С другой стороны,
.
Но,
, откуда и следует утверждение. Далее, т.к.
, то
.
Так как определитель не изменяется при транспонировании, то доказанное свойство справедливо и для столбцов определителя.
Следствие доказано.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.