Трехзначная семантика для модальной логики предикатов. Пример.

 Трехзначная семантика для модальной логики предикатов. Пример

Семантику для модальной логики предикатов можно определить, как для классической. Проиллюстрируем модальную семантику, введя аппроксимацию (замена одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) некоторых форм логики возможного с помощью трехзначной логики. Бинарная логика с двумя значениями {Л или 0, и И или 1} самая элементарная. Истина и ложь - это два множества высказываний, и законы (классической) логики утверждают, что любое высказывание есть элемент хотя бы одного из этих множеств (закон исключения третьего) и что никакое высказывание не является элементом сразу двух этих множеств (закон противоречия).

Какие изменения надо внести в эту теорию, если вводятся модальности «возможно» и «необходимо»? Надо рассмотреть несколько классов высказываний. Обозначим через N класс «необходимых» высказываний, через Р - «возможных», через I -«невозможных» (или «абсурдных») и через С - «нейтральных» (или «возможно (случайно) ложных»). Никакое высказывание не принадлежит одновременно N и С или I и Р. Далее, класс N содержится в Р, а класс I - в С. Это отражено в законах следования возможного из необходимого и нейтрального из абсурдного:

любое необходимое высказывание возможно;

любое абсурдное высказывание не является необходимым.

Существуют высказывания, которые являются возможными и нейтральными одновременно. Их называют «проблематичными». Множество таких высказываний обозначим через U. Имеет место закон исключения четвертого:

любое высказывание принадлежит либо N, либо U, либо I.

Посмотрим, как эту теорию модальности можно перевести в алгебраическую форму. Каждому из классов N, U, I соответствует своя интерпретация: «необходимо», «проблематично», «невозможно». Возьмем три символа 2, 1, 0. Эти логические значения сопоставляем указанным интерпретациям. Каждому высказыванию можно приписать логическое значение. Эта трехзначная логика предложена Лукасевичем.

В логике Лукасевича каждое высказывание обладает одним из значений 0, 1 или 2 (интерпретируемых как семантическое значение высказывания). Семантические значения можно находить, используя таблицы, приведенные ниже. Они задают семантику для аппроксимации модальной логики возможного с помощью трехзначной логики. Иное описание этой семантики возможно, но мы не будем его рассматривать.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.