Трехзначная семантика для модальной логики предикатов. Пример
Семантику для модальной логики предикатов можно определить, как для классической. Проиллюстрируем модальную семантику, введя аппроксимацию (замена одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) некоторых форм логики возможного с помощью трехзначной логики. Бинарная логика с двумя значениями {Л или 0, и И или 1} самая элементарная. Истина и ложь - это два множества высказываний, и законы (классической) логики утверждают, что любое высказывание есть элемент хотя бы одного из этих множеств (закон исключения третьего) и что никакое высказывание не является элементом сразу двух этих множеств (закон противоречия).
Какие изменения надо внести в эту теорию, если вводятся модальности «возможно» и «необходимо»? Надо рассмотреть несколько классов высказываний. Обозначим через N класс «необходимых» высказываний, через Р - «возможных», через I -«невозможных» (или «абсурдных») и через С - «нейтральных» (или «возможно (случайно) ложных»). Никакое высказывание не принадлежит одновременно N и С или I и Р. Далее, класс N содержится в Р, а класс I - в С. Это отражено в законах следования возможного из необходимого и нейтрального из абсурдного:
любое необходимое высказывание возможно;
любое абсурдное высказывание не является необходимым.
Существуют высказывания, которые являются возможными и нейтральными одновременно. Их называют «проблематичными». Множество таких высказываний обозначим через U. Имеет место закон исключения четвертого:
любое высказывание принадлежит либо N, либо U, либо I.
Посмотрим, как эту теорию модальности можно перевести в алгебраическую форму. Каждому из классов N, U, I соответствует своя интерпретация: «необходимо», «проблематично», «невозможно». Возьмем три символа 2, 1, 0. Эти логические значения сопоставляем указанным интерпретациям. Каждому высказыванию можно приписать логическое значение. Эта трехзначная логика предложена Лукасевичем.
В логике Лукасевича каждое высказывание обладает одним из значений 0, 1 или 2 (интерпретируемых как семантическое значение высказывания). Семантические значения можно находить, используя таблицы, приведенные ниже. Они задают семантику для аппроксимации модальной логики возможного с помощью трехзначной логики. Иное описание этой семантики возможно, но мы не будем его рассматривать.
|
FG |
FG |
FG |
FG |
||||||||||||||||
|
F |
F |
F\G |
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
2 |
|||||
|
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
0 |
|||||
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|||||
|
2 |
0 |
2 |
0 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
2 |
|||||
|
F |
?F |
?F |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.