Дифференцируемость функции в точке. Связь непрерывности функции с ее дифференцируемостью.

Дифференцируемость функции в точке. Условия дифференцируемости функции в
точке.


Определение Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A -- некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. limΔx→0α(Δx)=0.

Теорема
Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную.

Доказательство

Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx).

Из определения производной функции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A.

Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R. Покажем дифференцируемость функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0, то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0). Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0). Теорема доказана.

Определение. Дифференциалом функции y=f(x) в точке x0 называется главная линейная относительно Δx часть приращения функции Δy в данной точке.

Связь дифференцируемости с непрерывностью функции в точке.

Если функция y=y(x) дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в этой точке.

Справедливость утверждения следует из Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx и limΔx→0Δy=0, а по определению функция непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.

Обратное утверждение не верно.

Например, функция y=∣x∣ непрерывна в точкеx=0, но не дифференцируема в этой точке.

Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция непрерывна.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.