42. Дифференцируемость функции в точке. Связь непрерывности функции с ее дифференцируемостью.
Дифференцируемость функции в точке. Условия дифференцируемости функции в
точке.
Определение Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если
ее приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде:
Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx,
где A -- некоторое число, независящее от Δx, а
α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной
Δx, т.е.
limΔx→0α(Δx)=0.
Теорема
Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x0,
необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную
производную.
Доказательство
Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е.
Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx.
Разделив обе части данного равенства на Δx, получим:
ΔxΔy=A+α(Δx).
Из определения производной функции в точке:
y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.
Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и
y/(x0)=A.
Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R.
Покажем дифференцируемость функции.
y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.
Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0,
то ее можно представить: f(x)=b+α(x)
(α(x)→0). Исходя из этого:
ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где
limΔx→0α(Δx)=0,
Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→
A=y/(x0). Теорема доказана.
Определение. Дифференциалом функции y=f(x) в точке x0 называется
главная линейная относительно Δx часть приращения функции
Δy в данной точке.
Связь дифференцируемости с непрерывностью функции в точке.
Если функция y=y(x) дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в
этой точке.
Справедливость утверждения следует из
Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx
и limΔx→0Δy=0, а по определению функция
непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует малое
приращение функции.
Обратное утверждение не верно.
Например, функция y=∣x∣ непрерывна в точкеx=0, но не дифференцируема в
этой точке.
Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая
дифференцируемая функция непрерывна.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.