ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО - конечномерное векторное пространство с положительно определённым скалярным произведением. Является непосредств. обобщением обычного трёхмерного пространства. В Е. п. существуют декартовы координаты, в к-рых скалярное произведение (ху)векторов х- (x₁, . . . , х_n)и y = (y₁, . . . , y_п)имеет вид (xy)=x₁y₁+. . .+х_nу_п. В произвольных координатах скалярное произведение по определению удовлетворяет условиям: 1) (хх)/0, (хх) = 0 лишь при x=0; 2) (ху) = (ух)*; 3) (aху) = a(ху); 4) (x{y+z}) =(xy)+ (xz), где a - любое комплексное число, * означает комплексное сопряжение. В Е. п. имеет место неравенство Коши - Буняковского |xу|²[(хх)(уу). Число 
 
наз. нормой (или длиной) вектора х, а угол q между векторами х, у находят из ф-лы cosq= (xy)/|x| |у|. Первоначально евклидовыми наз. пространства, в к-рых выполнены аксиомы евклидовой геометрии, осн. понятиями к-рой являются длина векторов и угол между ними. Бесконечномерное Е. п. обычно наз. гильбертовым пространством. Пространство, в к-ром нарушено условие 1) положительности скалярного произведения, наз. псевдоевклидовым пространством. Пространство, в к-ром п четно, а условие 2) заменяется условием (ху) = --(ух), наз. симплектическим пространством

Во всяком пространстве  существует ортонормированный базис. Из произвольного базиса пространства  ортогональный базис может быть построен с помощью процесса ортогонализации:

      где 

      где 

   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

      где 

     Пронормировав каждый вектор  получим ортонормированный базис. В ортонормированном базисе () для векторов   имеем: