ЕВКЛИДОВО
ПРОСТРАНСТВО -
конечномерное векторное пространство с положительно определённым скалярным
произведением.
Является непосредств. обобщением обычного трёхмерного пространства. В
Е. п. существуют декартовы координаты, в к-рых скалярное произведение (ху)векторов х-
(x1, .
. . , хn)и y = (y1,
. . . , yп)имеет
вид (xy)=x1y1+.
. .+хnуп. В
произвольных координатах скалярное произведение по определению
удовлетворяет условиям: 1) (хх)/0, (хх)
= 0
лишь при x=0;
2) (ху) = (ух)*; 3) (aху)
= a(ху); 4) (x{y+z})
=(xy)+ (xz), где a - любое комплексное число, *
означает комплексное сопряжение. В Е. п. имеет место неравенство Коши -
Буняковского |xу|2[(хх)(уу).
Число
наз. нормой (или длиной) вектора х,
а угол q между векторами х,
у находят
из ф-лы cosq= (xy)/|x| |у|.
Первоначально евклидовыми наз. пространства, в к-рых выполнены аксиомы
евклидовой геометрии, осн. понятиями к-рой являются длина векторов и
угол между ними. Бесконечномерное Е. п. обычно наз. гильбертовым
пространством. Пространство, в к-ром нарушено
условие 1) положительности скалярного произведения, наз. псевдоевклидовым
пространством. Пространство, в к-ром п четно,
а условие 2) заменяется условием (ху) = --(ух),
наз. симплектическим пространством
Во всяком пространстве . . . . . . . . . . . . . . . Пронормировав каждый вектор существует ортонормированный базис. Из произвольного базиса
пространства
ортогональный базис может быть построен с помощью процесса ортогонализации:
где
где
где
получим ортонормированный базис. В ортонормированном базисе (
) для векторов
имеем:
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.