» » »

10. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису.

Координаты вектора.

Рассмотрим прямоугольную систему координат в трехмерном пространстве OXYZ. Вектору в данном пространстве соответствует тройка чисел (x,y,z), являющихся проекциями вектора на оси Ox, Oy, Oz. Эти числа называются координатами вектора .

Числа получаются как разность соответствующих координат точек A(x0,y0,z0) и B(x1,y1,z1):

x= x1-x0 , y= y1-y0 , z= z1-z0

а модуль вектора , равный его длине, вычисляется по теореме Пифагора:

 .

2.7. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису

Пусть  и — два базиса в n-мерном линейном пространстве L.

Матрицей перехода от базиса  к базису  называется матрица C, столбцами которой являются координаты векторов в базисе :

Вектор  линейно выражается через векторы обоих базисов. Тогда, если 

то координаты  вектора в базисе  , и его координаты  в базисе связаны соотношениями

,

или 

где ,  — матрица перехода от базиса  к базису  и обратная к ней;  — векторы-столбцы координат вектора  в соответствующих базисах.

Таким образом доказана следующая

Теорема. Пусть (e)={} и (f)={}— два базиса в n-мерном линейном пространстве L.

Координаты вектора в базисе (e) и координаты  вектора в базисе (f)связаны соотношением

где ,  — матрица перехода от базиса (e) к базису (f) и обратная к ней.

 


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.