» » »

11. Линейный оператор и его матрица. Операции над линейными операторами. О связи между матрицами в различных базисах.


Линейный оператор A действует из n-мерного линейного пространства X в m-мерное линейное пространство Y .

В этих пространствах определены базисы e = {e1, ..., en} и f = {f1, ..., fm}.

Пусть A(ei ) = a1i·f1 + a2i·f2 + ...+ ami·fm — разложение образа i-го базисного вектора базиса e пространства X по базису fпространства Y, i = 1, 2, ..., n.

Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = {aij}= {A(ej )i}:

style=border-style:

Координаты образа y = A(x) и прообраза x связаны соотношеннием:

y = A· x,

5.1.4. Действия с линейными операторами

Для линейных операторов, как и для всех других новых объектов, с которыми мы познакомились в курсе линейной алгебры, можно определить линейные операции — операции сложения и умножения на число.

Определение. Суммой операторов A и B называется оператор, определенный в Rn на и действующий следующим образом: .

Определение. Произведением оператора A на число  называется оператор, определенный в Rn на и действующий следующим образом: 

Нетрудно доказать следующее утверждение: матрица суммы операторов в некоторм базисе равна сумме матриц слагаемых в том же базие, а матрица оператора, являющегося произведением оператора на число — произведению матрицы оператора на число.

Рассмотрим множество линейных операторов, действующих в линейном пространстве Ln с определенными для операторов операциями сложения и умножения на число. Нетрудно убедиться в том, что это множество является линейным пространством.

Как показано выше, каждому линейному оператору, действующему в линейном пространстве Ln, отвечает единственная квадратная матрица порядка n.

С другой стороны. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу порядка n и некоторое линейное пространство Ln с определенным базисом в нем. Тогда матрица однозначно определяет некоторый линейный оператор: столбцы матрицы являются координатами образов базисных векторов.

Таким образом, доказан изоморфизм линейного пространства линейных операторов, действующих в конечномерном линейном пространстве и линейного пространства квадратных матриц соответствующего порядка.

2) Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах:

M(φ) - матрица Л.О. φ в старом базисе.
M1(φ) - матрица Л.О. φ в новом базисе.
Т - матрица перехода от старшего базиса к новому базису.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины