Для линейных операторов, как и для всех других новых объектов, с которыми мы познакомились в курсе линейной алгебры, можно определить линейные операции — операции сложения и умножения на число.
Определение. Суммой операторов A и B называется оператор, определенный в Rn на и действующий следующим образом.
Определение. Произведением оператора A на число 
называется оператор, определенный в Rn на и действующий следующим образом:
Нетрудно доказать следующее утверждение: матрица суммы операторов в некоторм базисе равна сумме матриц слагаемых в том же базие, а матрица оператора, являющегося произведением оператора на число — произведению матрицы оператора на число.
Рассмотрим множество линейных операторов, действующих в линейном пространстве Ln с определенными для операторов операциями сложения и умножения на число. Нетрудно убедиться в том, что это множество является линейным пространством.
Как показано выше, каждому линейному оператору, действующему в линейном пространстве Ln, отвечает единственная квадратная матрица порядка n.
С другой стороны. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу порядка n и некоторое линейное пространство Ln с определенным базисом в нем. Тогда матрица однозначно определяет некоторый линейный оператор: столбцы матрицы являются координатами образов базисных векторов.
Таким образом, доказан изоморфизм линейного пространства линейных операторов, действующих в конечномерном линейном пространстве и линейного пространства квадратных матриц соответствующего порядка.