» » »

53. Максимум, минимум и экстремумы функции. Необходимое условие существования экстремума.

Максимум и минимум функции.


Приведем точные определения точек экстремума. 

Определение. Точка x0 называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x0 выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0. 

Это наглядно показано на рисунке 1: 

минимум 
рисунок 1 

Определение. Точка x0 называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x0 выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0. 

Это наглядно показано на рисунке 2: 

максимум 
рисунок 2 

По определению значение функции f в точке x0 является наибольшим среди значений функции в окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности x0 имеет обычно либо вид гладкого холма, либо вид острого пика (рис. 1 а) и б) соответственно). 

В окрестности точки минимума графики изображаются в виде загругленной или острой впадины (рис. 2 а) и б) соответственно). 

Другие примеры поведения графиков функций в точках максимума и минимума приведены на рисунке ниже: 

поведение 

Слева направо: a - точка максимума; a - точка минимума; каждая точка из промежутка [-1; 0] является как точкой максимума, так и точкой минимума. 

Для точек минимума и максимума функции есть общее определение - точки экстремума. Значение функции в этих точках соответственно назывется максимумом или минимумом этой функции. Общее название - экстремум функции. Точки максимума обычно обозначают xmax, а точки минимума - xmin.

Необходимые условия существования экстремумов

  • Лемма Ферма. Пусть функция f\in дифференцируема в точке экстремума x0. Тогда:
f'(x0) = 0.
  • Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.