Матрицы и действия над ними. Ступенчатая матрица. Элементарные преобразования.

Определения.

Матрицей называется прямоугольная  таблица чисел  или буквенных выражений, содержащая m строк и n столбцов: называют  элементами  матрицы.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, т.е. m=n, называется квадратной матрицей, а число n называется порядком матрицы

 Элементы   образуют главную диагональ квадратной матрицы. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, то матрицу называют диагональной. Если в диагональной матрице все элементы главной диагонали равны между собой, то ее называют скалярной.

Если в скалярной матрице все элементы главной диагонали равны единице, то матрицу называют единичной и обозначают буквой E .

Если все элементы матрицы  равны  0, то матрица называется нулевой и ее обозначают буквой O.

Две матрицы считаются равными, если они одинакового размера, и элементы, стоящие на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами, равны

Сложение матриц.

Суммой матриц  одной и той же размерности называется матрица размерности , каждый элемент которой представляет собой сумму соответствующих элементов матриц A и B:

Матрицы разных размерностей складывать нельзя.

Пример1.

Свойства сложения матриц.
1. Коммутативность.
A+B=B+A
2. Ассоциативность.
(A+B)+C=A+(B+C)

Умножение матриц, транспонирование матриц.

Матрица C, элементы которой с_ij равны элементам матрицы A, умноженным на число α, называют произведением матрицы A на α

Пример 2.

Произведением матрицы  размерности на матрицу размерности называется матрица размерности.

Произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Пример 4.

Результатом транспонирования матрицы размерности является матрица размерности.

Свойства транспонированных матриц.

1). Если E-единичная матрица, то E=E^T.

2). Двукратное транспонирование не изменяет матрицу (A^T)^T=A.

3). Транспонирование суммы матриц равносильно сложению транспонированных матриц:
(A+B)^T=A^T+B^T

4).Транспонирование произведения матриц равносильно умножению транспонированных матриц:  .

5). Транспонирование обратной матрицы равносильно вычислению обратной к транспонированной матрице:
(A^-1)^T=(A^T)^-1 .

6). Если транспонированная матрица A^T совпадает с данной матрицей A, то матрица A называется симметрической.

Преобразования, не меняющие ранг матрицы, называются элементарными. К ним относятся:
 1). Умножение строки или столбца на число, не равное нулю.
 2). Перестановка строк или столбцов местами.
 3). Прибавление к элементам одной строки или столбца элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число.
 4). Вычеркивание строки или столбца, состоящего из нулей.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.