,
называют элементами матрицы.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, т.е. m=n, называется квадратной матрицей, а число n называется порядком матрицы:
A =
Элементы образуют
главную диагональ квадратной матрицы. Если все элементы квадратной
матрицы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, то матрицу
называют диагональной. Если в диагональной матрице все элементы главной
диагонали равны между собой, то ее называют скалярной.
Если в скалярной матрице все элементы главной диагонали равны единице, то матрицу называют единичной и обозначают буквой E .
Если все элементы матрицы равны 0, то матрица называется нулевой и ее обозначают буквой O.
Две матрицы считаются равными, если
они одинакового размера, и элементы, стоящие на пересечении строк и
столбцов с одинаковыми номерами, равны, т.е. если
Суммой матриц одной и той же размерности называется матрица размерности
, каждый элемент которой представляет собой сумму соответствующих элементов матриц A и B:
Матрицы разных размерностей складывать нельзя.
Пример1.
.
Свойства сложения матриц.
1. Коммутативность.
A+B=B+A
2. Ассоциативность.
(A+B)+C=A+(B+C)
Умножение матриц, транспонирование матриц.
Матрица C, элементы которой сij равны элементам матрицы A, умноженным на число α, называют произведением матрицы A на α:
Пример 2.
.
Произведением матрицы
размерности
на матрицу
размерности
называется матрица
размерности
, где:
Произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Пример 3.
Пример 4.
Результатом транспонирования матрицы
размерности
является матрица
размерности
, где
Пример 5.
Свойства транспонированных матриц.
1). Если E-единичная матрица, то E=ET.
2). Двукратное транспонирование не изменяет матрицу (AT)T=A.
3). Транспонирование суммы матриц равносильно сложению транспонированных матриц:
(A+B)T=AT+BT
4).Транспонирование произведения матриц равносильно умножению транспонированных матриц: .
5). Транспонирование обратной матрицы равносильно вычислению обратной к транспонированной матрице:
(A-1)T=(AT)-1 .
6). Если транспонированная матрица AT совпадает с данной матрицей A, то матрица A называется симметрической.
Преобразования, не меняющие ранг матрицы, называются элементарными. К ним относятся:
1). Умножение строки или столбца на число, не равное нулю.
2). Перестановка строк или столбцов местами.
3). Прибавление к элементам одной строки или столбца элементов
другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число.
4). Вычеркивание строки или столбца, состоящего из нулей.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.