» » »

14. Метрическое и нормированное пространства.

Определение метрического пространства

Пусть M — некоторое непустое множество, ρ — некое отображение, ставящие в соответствие двум элементам множества M некоторое вещественное число:

\rho,

отображение ρ называется метрикой, если оно обладает следующими свойствами (аксиомы метрики):

  1. Аксиома тождества: ~\rho(x,,
  2. Аксиома симметрии: ~\rho(x,,
  3. Аксиома треугольника: ~\rho(x,.

Совокупность множества M и определённой на нём метрики ρ называют метрическим пространством и обозначают (M,ρ). Иногда, особенно когда из контекста понятно о какой метрике идёт речь, метрическое пространство обозначают так же, как и само множество М. Элементы метрического пространства обычно называют точками.

Одним из простейших (и важнейших) примеров метрического пространства является числовая прямая. Покажем, что множество вещественных чисел с метрикой ρ(x, y)=|х — у| является метрическим пространством. Действительно, рассмотрим три произвольных вещественных числа

x,,

Все аксиомы метрического пространства выполняются, по свойствам модуля:

~|x,
~|x,
~|x.

Пусть (M, ρ) — метрическое пространство, и A — непустое подмножество множества M, тогда (A, ρ) — тоже является метрическим пространством, которое называетсяподпространством метрического пространства (M,ρ).

Например, множество рациональных чисел является подмножеством действительных чисел:

\mathbb{Q},

а следовательно, если взять естественную для вещественных чисел метрику

ρ(x,y) = | x  y | ,

то

(\mathbb{Q},\rho)

будет метрическим пространством.

В принципе, любое множество можно рассматривать как метрическое пространство. Действительно, если для элементов произвольного множества ввести так называемуюдискретную метрику:

\rho(x,,

то получится метрическое пространство, которое называют пространством изолированных точек.

На одном и том же множестве можно задавать различные метрики (ниже дан пример), однако не следует считать, что метрику можно задавать произвольно. Дело в том, что при решении практических задач метрика, как правило, является частью постановки задачи.

Полунормированным векторным пространством называется пара math, где math  векторное пространство, а math  полунорма в math.

Нормированным векторным пространством называется пара math, где math - векторное пространство, а math - норма в math.

Часто обозначение math и math опускают и пишут просто math, если из контекста ясно, какая норма или полунорма имеется в виду.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.