Главная
»
Общенаучные дисциплины
»
Математика (1 семестр)
»
Метрическое и нормированное пространства.
Метрическое и нормированное пространства.
Определение метрического пространства
Пусть M — некоторое непустое множество, ρ — некое отображение, ставящие в соответствие двум элементам множества M некоторое вещественное число:
,
отображение ρ называется метрикой, если оно обладает следующими свойствами (аксиомы метрики):
- Аксиома тождества:
, - Аксиома симметрии:
, - Аксиома треугольника:
.
Совокупность множества M и определённой на нём метрики ρ называют метрическим пространством и обозначают (M,ρ). Иногда, особенно когда из контекста понятно о какой метрике идёт речь, метрическое пространство обозначают так же, как и само множество М. Элементы метрического пространства обычно называют точками.
Одним из простейших (и важнейших) примеров метрического пространства является числовая прямая. Покажем, что множество вещественных чисел с метрикой ρ(x, y)=|х — у| является метрическим пространством. Действительно, рассмотрим три произвольных вещественных числа
,
Все аксиомы метрического пространства выполняются, по свойствам модуля:
,
,
.
Пусть (M, ρ) — метрическое пространство, и A — непустое подмножество множества M, тогда (A, ρ) — тоже является метрическим пространством, которое называетсяподпространством метрического пространства (M,ρ).
Например, множество рациональных чисел является подмножеством действительных чисел:
,
а следовательно, если взять естественную для вещественных чисел метрику
- ρ(x,y) = | x − y | ,
то

будет метрическим пространством.
В принципе, любое множество можно рассматривать как метрическое пространство. Действительно, если для элементов произвольного множества ввести так называемую дискретную метрику:
,
то получится метрическое пространство, которое называют пространством изолированных точек.
На одном и том же множестве можно задавать различные метрики (ниже дан пример), однако не следует считать, что метрику можно задавать произвольно. Дело в том, что при решении практических задач метрика, как правило, является частью постановки задачи.
Полунормированным векторным пространством называется пара , где — векторное пространство, а — полунорма в .
Нормированным векторным пространством называется пара , где - векторное пространство, а - норма в .
Часто обозначение и опускают и пишут просто , если из контекста ясно, какая норма или полунорма имеется в виду.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.