Будем рассматривать квадратные матрицы
Определители являются основными числовыми характеристиками квадратных матриц.
Определителем (детерминантом) матрицы,
состоящей из одного числа , называется само это число.
Определителем матрицы А= второго порядка называется число, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:
Рассмотрим матрицу третьего порядка:
Определителем матрицы A третьего порядка называется число
Данная формула называется формулой разложения определителя 3 порядка по элементам первой строки.
Пример 6. Вычислить определители заданных матриц:
1.
Решение :
2.
Решение:
3.
Решение.
В первой строке определителя уже есть два нулевых элемента. Преобразуем определитель так, чтобы еще два элемента этой строки обратились в ноль. Сделать это можно путем преобразований столбцов. Оставим без изменения 2-й и 5-й столбцы (там уже стоят нули). К 3-му столбцу прибавим 1-й, умноженный на -2, к 4-му ~ первый, умноженный на 1. При этом первый столбец в преобразованном определителе останется без изменения.
Теперь разложим определитель по элементам первой строки:
В полученном определителе четвертого порядка преобразуем к нулю первые три элемента 1-й строки с помощью последнего 4-гo столбца: к 1-му прибавим 4-й, умноженный на 3, 2-ой преобразовывать не нужно, к 3-му прибавим 4-ый, умноженный на -1.
Разложим этот определитель по элементам первой строки:
Полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников, однако проще и здесь, получив нули (легче всего в первом столбце), свести дело к определителю второго порядка. Ко 2-ой строке прибавим 1-ю, умноженную на -4, 3-й – первую, умноженную на 3:
Разлагаем определитель по элементам первого столбца:
И здесь можно упростить вычисления: ко 2-ой строке прибавим 1-ую, затем ко 2-му столбцу прибавим 1-ый, умноженным на 2:
Замечание 4.При использовании свойства 8, следует иметь в виду, что в преобразованном определителе меняется только та строка, к которой прибавляется другая (аналогично для столбцов). Так, если, например, к 3-ий строке прибавляется 1-ая, умноженная на 2, то в преобразованном определителе первая строка останется в неизменном виде, меняется только 3-я строка.
Определителем квадратной матрицы порядка n называется число:
Минором Mij, соответствующим данному элементу определителя 3 порядка, называется определитель второго порядка, полученный из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Тогда формулу для вычисления определителя 3 порядка можно переписать в виде:
Если элементы матрицы отметить точками, то получим правило треугольников:
(+) | (-) |
![]() | ![]() |
Слагаемые со знаком плюс представляют собой произведение элементов определителя, взятых по три так, как указано линией на левой части рисунка, а со знаком минус - на правой части.
Алгебраическим дополнением элемента определителя 3-го порядка называется его минор, взятый со знаком плюс, если (i+j) - четное число, и со знаком минус, если (i+j) - нечетное число, т.е.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.