Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ферма и Ролля и их геометрический смысл.

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.

Теорема Ферма (1601-1665 Франция) Пусть функция y=f(x), непрерывная в некотором замкнутом интервале [x₁, x₂] принимает свое наибольшее (или наименьшее) значение во внутренней точке (кси) этого интервала: x_{1 <} (кси) < x₂ Если в точке (кси) производная функции f(x) существует, то она обязательно равна нулю:

f′(x)=0

(производная в точке экстремума=0)

Геометрический смысл теоремы Ферма

касательная к графику функции в его наивысшей (или наинизшей) точке параллельна оси абсцисс.

Почти непосредственным следствием теоремы Ферма является теорема Ролля.