Главная » Общенаучные дисциплины » Математика (1 семестр) » Предел функции (два определения). Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. Односторонние пределы.Ограниченные функции.

Предел функции (два определения). Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. Односторонние пределы.Ограниченные функции.

Рассмотрим функцию f, определённую на некотором множестве ~X, которое имеет предельную точку ~x_0 (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Предел функции по Гейне

Значение ~A называется пределом (предельным значением) функции f в точке ~x_0, если для любой последовательности точек \left\{, сходящейся к ~x_0, но не содержащей ~x_0 в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ~x_0 ), последовательность значений функции \left\{ сходится к ~A.

\lim_{x

Предел функции по Коши

Значение ~A называется пределом (предельным значением) функции f в точке ~x_0, если для любого наперёд взятого положительного числа \varepsilon найдётся отвечающее ему положительное число \delta такое, что для всех аргументов ~x, удовлетворяющих условию 0, выполняется неравенство \left|.

 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) ~ \forall x \colon 0 < \left| x - x_0 \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right|

Окрестностное определение по Коши

Значение ~A называется пределом (предельным значением) функции f в точке ~x_0, если для любой окрестности O точки ~A существует выколотая окрестность \overset{\vee}{\mathop{O}} точки ~x_0 такая, что образ этой окрестности f лежит в O.

\lim_{x

Если у функции ~f существует предел на бесконечности, равный ~A, то говорят, что функция ~f стремится к ~A при стремлении ~x к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

  • \lim_{x, или
  • f.
  • Односторонний предел по Гейне

    • Число A называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции ~f в точке ~a, если для всякой последовательности \left\{, состоящей из точек, больших числа ~a, которая сама сходится к числу ~a, соответствующая последовательность значений функции \left\{ сходится к числу ~A.
       a \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} = A
    • Число A называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции ~f в точке ~a, если для всякой последовательности \left\{, состоящей из точек, меньших числа ~a, которая сама сходится к числу ~a, соответствующая последовательность значений функции \left\{ сходится к числу ~A.[1]
      \lim_{x

    Односторонний предел по Коши

    • Число A называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции ~f в точке ~a, если для всякого положительного числа ~\varepsilonотыщется отвечающее ему положительное число ~\delta такое, что для всех точек ~x из интервала \left( справедливо неравенство \left|.
       0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in \left( a, a + \delta \right) \colon \left| f \left( x \right) - A \right|
    • Число A называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции ~f в точке ~a, если для всякого положительного числа ~\varepsilonотыщется отвечающее ему положительное число ~\delta такое, что для всех точек ~x из интервала \left( справедливо неравенство \left|.
       0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in \left( a - \delta, a \right) \colon \left| f \left( x \right) - A \right| 
      Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие 
      f(x) = A + a(x), 
      где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а). 

 


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Дисциплины