Главная
»
Общенаучные дисциплины
»
Математика (1 семестр)
»
Предел функции (два определения). Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. Односторонние пределы.Ограниченные функции.
Предел функции (два определения). Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. Односторонние пределы.Ограниченные функции.
Рассмотрим функцию
, определённую на некотором множестве
, которое имеет предельную точку
(которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).
Предел функции по Гейне
Значение
называется пределом (предельным значением) функции
в точке
, если для любой последовательности точек
, сходящейся к
, но не содержащей
в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности
), последовательность значений функции
сходится к
.

Предел функции по Коши
Значение
называется пределом (предельным значением) функции
в точке
, если для любого наперёд взятого положительного числа
найдётся отвечающее ему положительное число
такое, что для всех аргументов
, удовлетворяющих условию
, выполняется неравенство
.
- 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) ~ \forall x \colon 0 < \left| x - x_0 \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right|
Окрестностное определение по Коши
Значение
называется пределом (предельным значением) функции
в точке
, если для любой окрестности
точки
существует выколотая окрестность
точки
такая, что образ этой окрестности
лежит в
.

Если у функции
существует предел на бесконечности, равный
, то говорят, что функция
стремится к
при стремлении
к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:
, или
.Односторонний предел по Гейне
- Число
называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции
в точке
, если для всякой последовательности
, состоящей из точек, больших числа
, которая сама сходится к числу
, соответствующая последовательность значений функции
сходится к числу
.- a \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} = A
- Число
называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции
в точке
, если для всякой последовательности
, состоящей из точек, меньших числа
, которая сама сходится к числу
, соответствующая последовательность значений функции
сходится к числу
.[1]
Односторонний предел по Коши
- Число
называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции
в точке
, если для всякого положительного числа
отыщется отвечающее ему положительное число
такое, что для всех точек
из интервала
справедливо неравенство
.- 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in \left( a, a + \delta \right) \colon \left| f \left( x \right) - A \right|
- Число
называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции
в точке
, если для всякого положительного числа
отыщется отвечающее ему положительное число
такое, что для всех точек
из интервала
справедливо неравенство
.- 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in \left( a - \delta, a \right) \colon \left| f \left( x \right) - A \right|
- Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие
f(x) = A + a(x),
где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.