Главная » Общенаучные дисциплины » Математика (1 семестр) » Предел функции (два определения). Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. Односторонние пределы.Ограниченные функции.

Предел функции (два определения). Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. Односторонние пределы.Ограниченные функции.

Рассмотрим функцию $f$ , определённую на некотором множестве $~X$ , которое имеет предельную точку $~x_0$ (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Предел функции по Гейне

Значение $~A$ называется пределом (предельным значением) функции $f$ в точке $~x_0$ , если для любой последовательности точек $\left\{$ , сходящейся к $~x_0$ , но не содержащей $~x_0$ в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности $~x_0$ ), последовательность значений функции $\left\{$ сходится к $~A$ .

$\lim_{x$

Предел функции по Коши

Значение $~A$ называется пределом (предельным значением) функции $f$ в точке $~x_0$ , если для любого наперёд взятого положительного числа $\varepsilon$ найдётся отвечающее ему положительное число $\delta$ такое, что для всех аргументов $~x$ , удовлетворяющих условию $0$ , выполняется неравенство $\left|$ .

0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) ~ \forall x \colon 0 < \left| x - x_0 \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right|

Окрестностное определение по Коши

Значение $~A$ называется пределом (предельным значением) функции $f$ в точке $~x_0$ , если для любой окрестности $O$ точки $~A$ существует выколотая окрестность $\overset{\vee}{\mathop{O}}$ точки $~x_0$ такая, что образ этой окрестности $f$ лежит в $O$ .

$\lim_{x$

Если у функции $~f$ существует предел на бесконечности, равный $~A$ , то говорят, что функция $~f$ стремится к $~A$ при стремлении $~x$ к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:
$\lim_{x$ , или
$f$ .
Односторонний предел по Гейне
Число $A$ называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции $~f$ в точке $~a$ , если для всякой последовательности $\left\{$ , состоящей из точек, больших числа $~a$ , которая сама сходится к числу $~a$ , соответствующая последовательность значений функции $\left\{$ сходится к числу $~A$ .
a \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} = A
Число $A$ называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции $~f$ в точке $~a$ , если для всякой последовательности $\left\{$ , состоящей из точек, меньших числа $~a$ , которая сама сходится к числу $~a$ , соответствующая последовательность значений функции $\left\{$ сходится к числу $~A$ .^[1]
$\lim_{x$
Односторонний предел по Коши
Число $A$ называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции $~f$ в точке $~a$ , если для всякого положительного числа $~\varepsilon$ отыщется отвечающее ему положительное число $~\delta$ такое, что для всех точек $~x$ из интервала $\left($ справедливо неравенство $\left|$ .
0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in \left( a, a + \delta \right) \colon \left| f \left( x \right) - A \right|
Число $A$ называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции $~f$ в точке $~a$ , если для всякого положительного числа $~\varepsilon$ отыщется отвечающее ему положительное число $~\delta$ такое, что для всех точек $~x$ из интервала $\left($ справедливо неравенство $\left|$ .
0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in \left( a - \delta, a \right) \colon \left| f \left( x \right) - A \right|
Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие
f(x) = A + a(x),
где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).