Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через их координаты. Приложения.

Определение 2.7.1. Углом ϕ между векторами a , b называется угол между векторами, равными данным и имеющими общее начало. Если не указано, от какого вектора и в каком направлении угол отсчитывается, то углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит π . Если угол прямой, то векторы называются ортогональными.

Определение 2.7.2.Скалярным произведением векторов a, b называется число a⋅b или (a,b ), равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:

Свойства скалярного произведения:
1. a⋅b=b⋅a ;
2. a⋅b=0 тогда и только тогда, когда векторы ортогональны;
3. Для любых чисел α,β и векторов a,b,c имеет место соотношение: (αa+βb)⋅c=α(a⋅c)+β(b⋅c) (линейность скалярного произведения);
4. a⋅a=|a|² .

Теорема 2.7.1. Если базис ортонормированный, то скалярное произведение векторов
выражается через их компоненты a ={a₁;a₂;a₃},  b = {b₁;b₂;b₃} по формуле
a⋅b =a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃ .

Следствия:
1. Модуль вектора вычисляется по формуле

2. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле

3. Если векторы a и b ортогональны, то их координаты связаны соотношением


Механическое приложение скалярного произведения. Работа силы F по
перемещению точки равна скалярному произведению A = F ⋅ r , где r – вектор перемещения.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.