» » »

36. Теоремы о пределах; об ограниченности функции, имеющей предел, о связи бесконечно малой и функции, имеющей предел.

Теоремы о пределах

  1. Бесконечно большие и бесконечно малые.
    Функция f(x) стремится к бесконечности при x стремящимся к a, если для любого M > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству |x-a| < d имеет место неравенство |f(x)| > M.
    limx® a=Ґ
  2. Функция ограниченная при x® a.
  3. Функция ограниченная при x® Ґ.
  4. Теорема. Если limx® a f(x)=b, то функция f(x) ограниченная при x® a.
  5. Бесконечно малые и их свойства. limx® a a(x)=0
    Теорема. 1. Если f(x)=b+a, где a - б.м. при x® a, то limx® a f(x)=b и обратно, если limx® a f(x)=b, то можно записать f(x)=b+a(x).
    Теорема. 2. Если limx® a a(x)=0 и a(x) 0, то 1/a® Ґ.
    Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.
    Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.
  6. Теоремы о пределах.
    Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.
    Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.
    Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).
    Теорема. 4. Если u(x) Ј z(x) Ј v(x), и limx® a u(x)=limx® a v(x)=b, то limx® a z(x)=b. (Теорема о двух милиционерах).
  7. Первый замечательный предел.

    0.5sin(x) < 0.5x < 0.5tg(x)


    lim
    x® 0 
    sin(x)

    x
    =1.
  8. Второй замечательный предел.
    Переменная величина
    ( 1+ 1

    n
    ) n

     
    при n® бесконечности имеет предел, заключенный между 2 и 3
Если функция имеет конечный предел в некоторой точке х0, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.
Теорема (о связи предела и бесконечно малой функции). Если функция  имеет предел , то разность между функцией и значением предела есть функция, бесконечно малая при .

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.