36. Теоремы о пределах; об ограниченности функции, имеющей предел, о связи бесконечно малой и функции, имеющей предел.
Теоремы о пределах
Бесконечно большие и бесконечно малые.
Функция f(x) стремится к бесконечности
при x стремящимся к a, если для
любого M > 0 можно указать такое значение d > 0,
что для всех x удовлетворяющих неравенству
|x-a| < d имеет место неравенство
|f(x)| > M.
limx® a=Ґ
Функция ограниченная при x® a.
Функция ограниченная при x® Ґ.
Теорема. Если limx® af(x)=b, то
функция f(x) ограниченная при x® a.
Бесконечно малые и их свойства.
limx® a a(x)=0
Теорема. 1. Если f(x)=b+a, где
a - б.м. при x® a, то
limx® af(x)=b и обратно,
если limx® af(x)=b, то можно записать
f(x)=b+a(x).
Теорема. 2. Если
limx® a a(x)=0 и a(x) № 0, то
1/a® Ґ.
Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.
Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.
Теоремы о пределах.
Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.
Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.
Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).
Теорема. 4. Если u(x) Ј z(x) Ј v(x),
и limx® au(x)=limx® av(x)=b,
то limx® az(x)=b. (Теорема о двух милиционерах).
Первый замечательный предел.
0.5sin(x) < 0.5x < 0.5tg(x)
lim x® 0
sin(x)
x
=1.
Второй замечательный предел.
Переменная величина
(
1+
1
n
)
n
при n® бесконечности имеет предел, заключенный между 2 и 3
Если функция имеет конечный предел в некоторой точке х0, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки. Теорема(о связи предела и бесконечно малой функции).Если функцияимеет предел, то разность между функцией и значением предела есть функция, бесконечно малая при.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.