Теоремы о пределах; об ограниченности функции, имеющей предел

Теоремы о пределах

1. Бесконечно большие и бесконечно малые.
    
   Функция f(x) стремится к бесконечности при x стремящимся к a, если для любого M > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству |x-a| < d имеет место неравенство |f(x)| > M.
    
   lim_{x® a}=Ґ
    
2. Функция ограниченная при x® a.
    
3. Функция ограниченная при x® Ґ.
    
4. Теорема. Если lim_{x® a} f(x)=b, то функция f(x) ограниченная при x® a.
    
5. Бесконечно малые и их свойства. lim_{x® a} a(x)=0
    
   Теорема. 1. Если f(x)=b+a, где a - б.м. при x® a, то lim_{x® a} f(x)=b и обратно, если lim_{x® a} f(x)=b, то можно записать f(x)=b+a(x).
    
   Теорема. 2. Если lim_{x® a} a(x)=0 и a(x) № 0, то 1/a® Ґ.
    
   Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.
    
   Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.
    
6. Теоремы о пределах.
    
   Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.
    
   Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.
    
   Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).
    
   Теорема. 4. Если u(x) Ј z(x) Ј v(x), и lim_{x® a} u(x)=lim_{x® a} v(x)=b, то lim_{x® a} z(x)=b. (Теорема о двух милиционерах).
    
7. Первый замечательный предел.
    
   
   

   0.5sin(x) < 0.5x < 0.5tg(x)

    
   
   

   lim x® 0    sin(x) x =1.

    
8. Второй замечательный предел.
    
   Переменная величина
   

   ( 1+ 1 n ) n

   при n® бесконечности имеет предел, заключенный между 2 и 3

Если функция имеет конечный предел в некоторой точке х0, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.