Приближенное определение определенного интеграла методом Симпсона

Если для каждой пары отрезков  построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.

Рассмотрим подынтегральную функцию  на отрезке . Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с  в точках :

Проинтегрируем :

Формула:

и называется формулой Симпсона.

Полученное для интеграла  значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми ,  и параболой, проходящей через точки 

Оценим теперь погрешность интегрирования  по формуле Симпсона. Будем считать, что у  на отрезке  существуют непрерывные производные . Составим разность

К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку  непрерывна  на  и функция  неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором ( то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому:

(мы воспользовались теоремой о среднем, поскольку  - непрерывная функция; ).

    Дифференцируя  дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для  другое выражение:

, где 

   Из обеих оценок для  следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона, напрмер, в виде:

, .

Если отрезок  интегрирования слишком велик, то его разбивают на  равных частей (полагая ), после чего к каждой паре соседних отрезков , ,..., применяют формулу Симпсона, именно:

Запишем формулу Симпсона в общем виде:

    (1)

        (2)

  Погрешность формулы Симпсона - метода четвертого порядка:

,       (3)

Так как метод Симпсона позволяет получить высокую точность, если не слишком велика. В противном случае метод второго порядка может дать     большую точность.

Например, для функции   форма трапеции при  для  дает точный результат , тогда как по формуле Симпсона получаем 

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.