Если для каждой пары отрезков построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.
Рассмотрим подынтегральную функцию на отрезке
. Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с
в точках
:
Проинтегрируем :
Формула:
и называется формулой Симпсона.
Полученное для интеграла значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью
, прямыми
,
и параболой, проходящей через точки
Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у на отрезке
существуют непрерывные производные
. Составим разность
К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку непрерывна на
и функция
неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором ( то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому:
(мы воспользовались теоремой о среднем, поскольку - непрерывная функция;
).
Дифференцируя дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для
другое выражение:
, где
Из обеих оценок для следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона, напрмер, в виде:
,
.
Если отрезок интегрирования слишком велик, то его разбивают на
равных частей (полагая
), после чего к каждой паре соседних отрезков
,
,...,
применяют формулу Симпсона, именно:
Запишем формулу Симпсона в общем виде:
(1)
(2)
Погрешность формулы Симпсона - метода четвертого порядка:
,
(3)
Так как метод Симпсона позволяет получить высокую точность, если не слишком велика. В противном случае метод второго порядка может дать большую точность.
Например, для функции форма трапеции при
для
дает точный результат
, тогда как по формуле Симпсона получаем
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.