Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x0, а функция g имеет производную в точке y0 = f(x0), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x0.
Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, где y0 = f(x0), и
Пусть также эти функции дифференцируемы:
Тогда их композиция также дифференцируема:
и её производная имеет вид:
В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции y = y(x), где x = x(t), принимает следующий вид:
Дифференциал функции z = g(y) в точке y0 имеет вид:
где dy — дифференциал тождественного отображения :
Пусть теперь Тогда
, и согласно цепному правилу:
Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.
Пусть Тогда функция
может быть записана в виде композиции
где
Дифференцируя эти функции отдельно:
получаем
Пусть даны функции где y0 = f(x0), и
Пусть также эти функции дифференцируемы:
и
Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид
В частности, матрица Якоби функции h является произведением матриц Якоби функций g и f:
Для частных производных сложной функции справедливо
Инвариантность формы полного дифференциала
Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции z=ƒ(х;у) сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.
Пусть z=ƒ(х;у), где х и у — независимые переменные. Тогда полный дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид
(формула (44.5)).
Рассмотрим сложную функцию z=ƒ(х;у), где х = x(u;v), у = y(u;v), т. е. функцию z = f(x(u;v);y(u;v)) = F(u;v;), где u и v — независимые переменные. Тогда имеем:
Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функций х = х(u;v) и y = y(u;v). Следовательно, и в этом случае,
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.