Главная » Общенаучные дисциплины » Математика (2 семестр) » Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы полного дифференциала 1-го порядка

Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы полного дифференциала 1-го порядка

Дифференцирование сложной функции

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке $x 0$ , а функция g имеет производную в точке $y 0 = f (x 0)$ , то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке $x 0$ .

Одномерный случай

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, $f:U(x_0)$ где $y 0 = f (x 0),$ и $g:V(y_0)$ Пусть также эти функции дифференцируемы: $f\in$ Тогда их композиция также дифференцируема: $h$ и её производная имеет вид:

$h'(x_0)$

Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции $y = y (x),$ где $x = x (t),$ принимает следующий вид:

$\frac{dy}{dt}$

Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции $z = g (y)$ в точке $y 0$ имеет вид:

$dz$

где $d y$ — дифференциал тождественного отображения $y$ :

$dy(h)$

Пусть теперь $y$ Тогда $dy$ , и согласно цепному правилу:

$dz$

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пример

Пусть $h(x)$ Тогда функция $h\;$ может быть записана в виде композиции $h$ где

$f(x)$

$g(y)$

Дифференцируя эти функции отдельно:

$f'(x)$

$g'(y)$

получаем

$h'(x)$

Многомерный случай

Пусть даны функции $f:U(x_0)$ где $y 0 = f (x 0),$ и $g:V(y_0)$ Пусть также эти функции дифференцируемы: $f\in$ и $g$ Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

d h (x 0) = d g (y 0) * d f (x 0).

В частности, матрица Якоби функции $h$ является произведением матриц Якоби функций $g$ и $f :$

$\frac{\partial(h_1,\ldots,$

Следствия

Якобиан композиции двух функций является произведений якобианов индивидуальных функций:
$\left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots,$

Для частных производных сложной функции справедливо

$\frac{\partial$
Инвариантность формы полного дифференциала
Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции z=ƒ(х;у) сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.
Пусть z=ƒ(х;у), где х и у — независимые переменные. Тогда полный дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид
(формула (44.5)).
Рассмотрим сложную функцию z=ƒ(х;у), где х = x(u;v), у = y(u;v), т. е. функцию z = f(x(u;v);y(u;v)) = F(u;v;), где u и v — независимые переменные. Тогда имеем:
Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функций х = х(u;v) и y = y(u;v). Следовательно, и в этом случае,

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Дисциплины