» » »

Вопрос 4. Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы полного дифференциала 1-го порядка

Дифференцирование сложной функции

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x0, а функция g имеет производную в точке y0 = f(x0), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x0.

Одномерный случай

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, f:U(x_0) где y0 = f(x0), и g:V(y_0) Пусть также эти функции дифференцируемы: f\in Тогда их композиция также дифференцируема: h и её производная имеет вид:

h'(x_0)

Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции y = y(x), где x = x(t), принимает следующий вид:

\frac{dy}{dt}

Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции z = g(y) в точке y0 имеет вид:

dz

где dy — дифференциал тождественного отображения y:

dy(h)

Пусть теперь y Тогда dy, и согласно цепному правилу:

dz

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пример

Пусть h(x) Тогда функция h\; может быть записана в виде композиции h где

f(x)
g(y)

Дифференцируя эти функции отдельно:

f'(x)
g'(y)

получаем

h'(x)

Многомерный случай

Пусть даны функции f:U(x_0) где y0 = f(x0), и g:V(y_0) Пусть также эти функции дифференцируемы: f\in и g Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

dh(x0) = dg(y0) * df(x0).

В частности, матрица Якоби функции h является произведением матриц Якоби функций g и f:

\frac{\partial(h_1,\ldots,

Следствия

  • Якобиан композиции двух функций является произведений якобианов индивидуальных функций:
    \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots,

Для частных производных сложной функции справедливо

  • \frac{\partial

    Инвариантность формы полного дифференциала

    Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции z=ƒ(х;у) сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.

    Пусть z=ƒ(х;у), где х и у — независимые переменные. Тогда полный дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид

     (формула (44.5)).

    Рассмотрим сложную функцию z=ƒ(х;у), где х = x(u;v), у = y(u;v), т. е. функцию z = f(x(u;v);y(u;v)) = F(u;v;), где u и v — независимые переменные. Тогда имеем:

    Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функций х = х(u;v) и y = y(u;v). Следовательно, и в этом случае,


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины