Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть
Для функции, зависящей от одной переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:
Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции :
При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что есть произвольное и не зависящее от
, которое при дифференцировании по
следует рассматривать как постоянный множитель.
Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так:
.
Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции выглядит следующим образом:
где , а
произвольные приращения независимых переменных
.
Приращения рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.
При ,
-й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение
зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная
как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например,
.
Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При n = 2 и :
С учётом зависимости , уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.