Главная » Общенаучные дисциплины » Математика (2 семестр) » Дифференциал высших порядков

Дифференциал высших порядков

Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции $~z$ в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

$~d^nz=$ .

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной $~z$ второй и третий дифференциалы выглядят так:

$~d^2z$

$~d^3z$

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции $~z$ :

$~d^nz$

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что $~dx$ есть произвольное и не зависящее от $~x$ , которое при дифференцировании по $~x$ следует рассматривать как постоянный множитель.

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция $~z$ имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: $~d^2z=$ .

$d^2z$

$=$

$d^2z$

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции $~z$ выглядит следующим образом:

$d^nz$

где $~z$ , а $~dx_1,...,dx_n$ произвольные приращения независимых переменных $~x_1,...,x_n$ .
Приращения $~dx_1,...,dx_n$ рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При $n\geqslant$ , $~n$ -й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение $~d^nf$ зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная $~x$ как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, $x$ .

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При n = 2 и $~y$ :

если $~x$ — независимая переменная, то $~d^2y$
если и
1. $~6x(dx)^2$
2. при этом, $~y$ и $~d^2y$

С учётом зависимости $~x$ , уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Дополнения

С помощью дифференциалов, функция $~F$ при условии существования её (n + 1) первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:

для функции с одной переменной:

$~\mathcal{4}F(x_0)$ , $~(0<\theta<1)$ ;

для функции с несколькими переменными:

$~\mathcal{4}F(x_0,y_0)$ , $~(0<\theta<1)$

Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции $~f(x_1,...,x_n)$ явлется положительно определённым (отрицательно определенным), то точка $~(x_1,...,x_n)$ является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции $~f(x_1,...,x_n)$ является неопределённым, то в точке $~(x_1,...,x_n)$ нет экстремума.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Дисциплины