» » »

Вопрос 7. Дифференциал высших порядков

Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции ~z  в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

~d^nz=  .

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной ~z  второй и третий дифференциалы выглядят так:

~d^2z
~d^3z

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции ~z :

~d^nz

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что ~dx есть произвольное и не зависящее от ~x , которое при дифференцировании по ~x  следует рассматривать как постоянный множитель.

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция ~z  имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: ~d^2z=.

d^2z
=
d^2z
d^2z

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции ~z выглядит следующим образом:

d^nz

где ~z, а  ~dx_1,...,dx_n произвольные приращения независимых переменных ~x_1,...,x_n.
Приращения ~dx_1,...,dx_n  рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При  n\geqslant , ~n-й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение ~d^nf зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная ~xкак независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, x.

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При n = 2 и  ~y :

  • если  ~x — независимая переменная, то  ~d^2y
  • если  ~x  и  ~dx
    1. ~6x(dx)^2
    2. при этом,  ~y  и  ~d^2y

С учётом зависимости ~x, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Дополнения

  • С помощью дифференциалов, функция ~F  при условии существования её (n + 1) первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:
  • для функции с одной переменной:
~\mathcal{4}F(x_0)  ,  ~(0<\theta<1);
  • для функции с несколькими переменными:
~\mathcal{4}F(x_0,y_0)  ,  ~(0<\theta<1)
  • Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции ~f(x_1,...,x_n)  явлется положительно определённым (отрицательно определенным), то точка ~(x_1,...,x_n)  является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции ~f(x_1,...,x_n)  является неопределённым, то в точке ~(x_1,...,x_n)  нет экстремума.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины