Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции
в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть
.
Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
Для функции, зависящей от одной переменной
второй и третий дифференциалы выглядят так:
![~d^2z](http://upload.wikimedia.org/math/e/1/4/e1426c9b7b04e219ee6d61a54620bf84.png)
![~d^3z](http://upload.wikimedia.org/math/8/e/4/8e42ab5f0c2eae1361145a43604dfd58.png)
Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции
:
![~d^nz](http://upload.wikimedia.org/math/9/9/2/992e65c38451e3167f8b824b2fd475f8.png)
При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что
есть произвольное и не зависящее от
, которое при дифференцировании по
следует рассматривать как постоянный множитель.
Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
Если функция
имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так:
.
![d^2z]()
![=](http://upload.wikimedia.org/math/5/e/1/5e17386075320bd2639f8530af00a494.png)
![d^2z](http://upload.wikimedia.org/math/e/d/e/ede96ac2aab1509e8d6b4fac20215380.png)
![d^2z](http://upload.wikimedia.org/math/d/6/f/d6ff72983f5886c6695ef79196006165.png)
Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции
выглядит следующим образом:
![d^nz](http://upload.wikimedia.org/math/2/3/2/2326b03b1f9aaea94a9db1a4af55cf7d.png)
где
, а
произвольные приращения независимых переменных
.
Приращения
рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.
Неинвариантность дифференциалов высшего порядка
При
,
-й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение
зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная
как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например,
.
Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При n = 2 и
:
- если
— независимая переменная, то ![~d^2y](http://upload.wikimedia.org/math/d/6/a/d6a1eba365fbf8d473d8b92924f58422.png)
- если
и ![~dx](http://upload.wikimedia.org/math/1/1/b/11bf5a6b82063aeb57d8d2a3321f1688.png)
![~6x(dx)^2](http://upload.wikimedia.org/math/e/5/f/e5fb77b35fbfa78975d4b4a6d3ec969a.png)
- при этом,
и ![~d^2y](http://upload.wikimedia.org/math/e/a/5/ea532f9f091dcc529407b5faf0294fd9.png)
С учётом зависимости
, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.
Дополнения
- С помощью дифференциалов, функция
при условии существования её (n + 1) первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:
- для функции с одной переменной:
,
;- для функции с несколькими переменными:
, ![~(0<\theta<1)](http://upload.wikimedia.org/math/b/c/d/bcd7363f9310fe9535009e8c06e02d10.png)
- Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции
явлется положительно определённым (отрицательно определенным), то точка
является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции
является неопределённым, то в точке
нет экстремума.