Формула Тейлора для функции двух и нескольких переменных.

Пусть функция z=f(x,y) непрерывна вместе со своими частными производными до 3-его порядка включительно в некоторой окресности содержащей точку М(x0,y0,z0) Попытаемся представить эту фун-ию в виде многочлена второй степени по степеням x-x0, y-y0, этот многочлен имеет вид: f(x,y)=A0+B1(x-x0)+C1(y-y0)+(1/2!)( B2(x-x0)2+2C2(x-x0)(y-y0)+Д2(y-y0)2)+R2

Определим коэф А0, B1, C1, B2, C2, D2, коэф будем определять из условий, что функция и многочлен и их частные производные совпадают в точке (х0,у0). Найдем f(x0,y0)=А0

∂f/∂х=B1+(1/2)B2(x-x0)           ∂f(x0,y0)/∂х=B1

∂f/∂у=C1+(1/2)2C2(x-x0)         ∂f(x0,y0)/∂у=C1

продиференцировав еще раз мы получим, что

B2=∂2f(x0,y0)/∂x2                        C2=∂2f(x0,y0)/∂x∂y        D2=∂2f(x0,y0)/∂y2

Подставив найденные коэфициенты в формулу мы получим формулу Тейлора 2-ого порядка для функции z=f(x,y) в окрестности точки (x0,y0), она примет вид f(x,y)= f(x0,y0)+(∂f(x0,y0)/∂х)(x-x0)+

+(∂f(x0,y0)/∂у)(y-y0)+(1/2!)((∂2f(x0,y0)/∂x2)(x-x0)2+2(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)(x-x0)(y-y0)+(∂2f(x0,y0)/∂y2)(y-y0)2)+R2.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.