Функция нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух перемен­ных. Предел и непрерывность функции двухпеременных.

Основные понятия

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х;у). Соответствие ƒ, которое каждой паре чисел (х; у) є D сопоставляет одно и только одно число z є R, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в Е, и записывается в виде z = ƒ(х;у) или ƒ : D → R При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), а z — зависимой переменной (функцией).

Множество D = D(f) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых z в области определения, называется областью изменения этой функции, обозначается E(f) или Е.

Примером функции двух переменных может служить площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S = ху. Областью определения этой функции является множество {(х;у) | х > 0, у > 0}.

Функцию z = ƒ(х;у), где (х;у) є D можно понимать (рассматривать) как функцию точки М(х;у) координатной плоскости Оху. В частности, областью определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается D. Примером замкнутой области является круг с окружностью.

Значение функции z = ƒ(х;у) в точке М0(х0;у0) обозначают z0=ƒ(хо;уо) или z0=ƒ(М0) и называют частным значением функции.

Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке М0(х₀; у₀) области D в системе координат Oxyz соответствует точка M(x₀;y₀;z₀), где z₀ = ƒ(х_о;у_о) — аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию z=ƒ(x;у).

Например, функция имеет областью определения круг х² + у² ≤ 1 и изображается верхней полусферой с центром в точке O(0;0;0) и радиусом R = 1.

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.

Предел функции

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек М(х;у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству называется d-окрестностью точки М₀(х₀;у₀). Другими словами, d-окрестность точки М_о — это все внутренние точки круга с центром М_о и радиусом 8 (см. рис. 206).

Пусть функция z = ƒ(х; у) определена в некоторой окрестности точки М₀(х₀;у₀), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z = ƒ (х; у) при х → х₀ и у → у₀(или, что то же самое, при М(х; у) → М₀(х₀; у₀)), если для любого є > 0 существует d > 0 такое, что для всех х ≠ х₀ и у ≠ у₀ и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство | ƒ (х; у) — А| < є. Записывают:

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к М_о (число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной х → х₀ по двум направлениям: справа и слева!)

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число є>0, найдется d-окрестность точки M_о(х_о;у_о), что во всех ее точках М(х;у), отличных от М_о, аппликаты соответствующих точек поверхности z=ƒ(х;у) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на є.

Пример 22.1. Найти предел

Решение: Будем приближаться к О(0;0) по прямой у=Кх, где К — некоторое число. Тогда функция  в точке О(0; 0) предела не имеет, т. к. при разных значенияхК предел функции не одинаков (функция имеет различные предельные значения).

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной (см. п. 17.3). Это означает, что справедливы утверждения: если функции ƒ (М) и g(М) определены на множестве D и имеют в точке М_о этого множества пределы А и В соответственно, то и функции ƒ(М) ± g(M), ƒ(М) • g(М), имеют в точке Мо пределы, которые соответственно равны А ± В, А • В, ^A/_B(В≠0).

Непрерывность функции двух переменных

Функция z = ƒ(х;у) (или ƒ(М)) называется непрерывной в точке М₀(х₀;у₀), если она:

а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,

б) имеет предел

в) этот предел равен значению функции z в точке М_о, т. е. функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z=ƒ(х;у) могут образовывать целые линии разрыва. Так, функция имеет линию разрыва у=х.

Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции z=ƒ(х;у) в точке. Обозначим Δх=х—х_0, Δу=у—у₀, Δz=ƒ(х;у)—ƒ(х₀;у₀). Величины Δх и Δу называются приращениями аргументов х и у, а Δz — полным приращением функции ƒ(х;у) в точке М₀(х₀;у₀).

Функция z = ƒ(х;у) называется непрерывной в точке М₀(х₀;у₀) є D, если выполняется равенствот. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов х и у стремятся к нулю.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям — подобные теоремы имели место для функций одной переменной (см. п. 19.4).

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.