При движении вдоль кривой её касательная меняет направление. Скорость этого вращения (отношение угла поворота касательной за бесконечно малый промежуток времени к этому промежутку) при равномерном, с единичной скоростью, движении вдоль кривой называется кривизной кривой. Производная же по времени положительного единичного вектора касательной называется в этом случае вектором кривизны кривой. То и другое - функции точки кривой. Кривизна есть абсолютная величина вектора кривизны.
В случае произвольного параметрического задания кривой кривизна кривой в трехмерном пространстве определяется по формуле
,
где
— вектор-функция с координатами
.
В координатах:
![k_1=\frac{\sqrt{(z''y'-y''z')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}](http://upload.wikimedia.org/math/7/e/b/7eb88fdec16eba56e6bffc6fde592b6c.png)
Для кривой в более многомерном пространстве можно заменить векторное произведение, обозначенное здесь квадратными скобками, на внешнее произведение.
Также для кривой в любой размерности пространства можно воспользоваться формулой вектора кривизны:
![\mathbf](http://upload.wikimedia.org/math/5/a/1/5a1fb59f4791a83d7a1045ff860f88b8.png)
и фактом, что кривизна есть его модуль, а также выражением для единичного вектора касательной
![\mathbf](http://upload.wikimedia.org/math/7/e/0/7e0244387b66931b285c57308896e409.png)
и
![dl](http://upload.wikimedia.org/math/b/3/4/b3429c9b7cb68589ea9e3c23d00dc536.png)
и получить для кривизны формулу:
![k](http://upload.wikimedia.org/math/d/a/b/dab13a97079f9c02fd3da96971cb45cb.png)
или, раскрыв скобки:
![k](http://upload.wikimedia.org/math/b/2/4/b24a210a237b232137cfaefdc40ad8d5.png)
Прямые и только прямые имеют всюду равную нулю кривизну. Поэтому кривизна наглядно показывает, насколько (в данной точке) кривая отличается от прямой линии: чем ближе кривизна к нулю, тем это отличие меньше. Кривизна окружности радиуса R равна 1 / R.
Дважды дифференцируемая кривая в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, имеет единственную соприкасающуюся плоскость.
Для плоских кривых можно различать направление вращения касательной при движении вдоль кривой, поэтому кривизне можно приписывать знак в зависимости от направления этого вращения. Кривизна плоской кривой, задаваемой уравнениями
, определяется по формуле
.
Знак + или - берётся по соглашению, но сохраняется вдоль всей кривой.
Кручение
При движении вдоль кривой в окрестности заданной точки соприкасающаяся плоскость вращается, причём касательная к кривой является мгновенной осью этого вращения. Скорость вращения соприкасающейся плоскости при равномерном, с единичной скоростью, движении называется кручением. Направление вращения определяет знак кручения.
Трижды дифференцируемая кривая в каждой точке с отличной от нуля кривизной имеет определённое кручение. В случае параметрического задания кривой уравнениями (1) кручение кривой определяется по формуле
![k_2](http://upload.wikimedia.org/math/b/3/0/b3057d8b1937c8bdd61d40769b387cbc.png)
здесь ( * , * , * ) обозначает смешанное произведение. В координатах для натуральной параметризации:
![k_2](http://upload.wikimedia.org/math/7/4/5/745b12e2141aca2e185d9961f37c70a5.png)
Для прямой кручение не определено, поскольку неоднозначно определяется соприкасающаяся плоскость. Плоская кривая в каждой точке имеет кручение, равное нулю. Обратно, кривая с тождественно равным нулю кручением — плоская.