» » »

36. Главная нормаль. Бинормаль. Сопровождающий трехгранник. Кривизна и кручение.

Соприкасающаяся плоскость и нормали

Если взять в качестве m плоскость, проходящую через точку O кривой M, то условие соприкосновения при \alpha определяет соприкасающуюся плоскость кривой (рис. 1). Дважды дифференцируемая кривая в каждой точке имеет соприкасающуюся плоскость. Она либо единственная, либо любая плоскость, проходящая через касательную кривой, является соприкасающейся.

Пусть \mathbf{r} — уравнение кривой. Тогда уравнение \mathbf{R} её соприкасающейся плоскости определяется из соотношения:

(\mathbf{R}

В координатах оно имеет вид:

\begin{vmatrix}

Прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Плоскость, перпендикулярная касательной в данной точке кривой, называется нормальной плоскостью; все нормали для данной точки лежат в нормальной плоскости. Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью, а нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Также нормалью и бинормалью для краткости могут называть единичные векторы вдоль этих прямых (при этом направление вектора главной нормали обычно выбирают совпадающим с направлением вектора кривизны кривой[1]).

Векторное уравнение бинормали в точке, отвечающей значению t0 параметра t, имеет вид:

\boldsymbol{r}(\lambda)=\boldsymbol{r}(t_0)+\lambda

Направление главной нормали может быть получено как двойное векторное произведение: [\mathbf{r}'.

Для плоской кривой содержащая её плоскость совпадает с соприкасающейся. Нормаль, с точностью до знака, только одна — главная, и её уравнение в точке (x_0,\имеет следующий вид.

  • Параметрическое задание: Y
  • Явное задание: Y
  • Неявное задание: Y
  • Кривизна
  • При движении вдоль кривой её касательная меняет направление. Скорость этого вращения (отношение угла поворота касательной за бесконечно малый промежуток времени к этому промежутку) при равномерном, с единичной скоростью, движении вдоль кривой называется кривизной кривой. Производная же по времени положительного единичного вектора касательной называется в этом случае вектором кривизны кривой. То и другое - функции точки кривой. Кривизна есть абсолютная величина вектора кривизны.

    В случае произвольного параметрического задания кривой[2] кривизна кривой в трехмерном пространстве определяется по формуле

    k_1,

    где \mathbf{r}(t) — вектор-функция с координатами x(t),\.

    В координатах:

    k_1=\frac{\sqrt{(z''y'-y''z')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}

    Для кривой в более многомерном пространстве можно заменить векторное произведение, обозначенное здесь квадратными скобками, на внешнее произведение.

    Также для кривой в любой размерности пространства можно воспользоваться формулой вектора кривизны:

    \mathbf

    и фактом, что кривизна есть его модуль, а также выражением для единичного вектора касательной

    \mathbf

    и

    dl

    и получить для кривизны формулу:

    k

    или, раскрыв скобки:

    k


    Прямые и только прямые имеют всюду равную нулю кривизну. Поэтому кривизна наглядно показывает, насколько (в данной точке) кривая отличается от прямой линии: чем ближе кривизна к нулю, тем это отличие меньше. Кривизна окружности радиуса R равна 1 / R.

    Дважды дифференцируемая кривая в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, имеет единственную соприкасающуюся плоскость.

    Для плоских кривых можно различать направление вращения касательной при движении вдоль кривой, поэтому кривизне можно приписывать знак в зависимости от направления этого вращения. Кривизна плоской кривой, задаваемой уравнениями x=x(t),\, определяется по формуле

    k=.

    Знак + или - берётся по соглашению, но сохраняется вдоль всей кривой.

    [править]Кручение

    При движении вдоль кривой в окрестности заданной точки соприкасающаяся плоскость вращается, причём касательная к кривой является мгновенной осью этого вращения. Скорость вращения соприкасающейся плоскости при равномерном, с единичной скоростью, движении называется кручением. Направление вращения определяет знак кручения.

    Трижды дифференцируемая кривая в каждой точке с отличной от нуля кривизной имеет определённое кручение. В случае параметрического задания кривой уравнениями (1) кручение кривой определяется по формуле

    k_2

    здесь ( * , * , * ) обозначает смешанное произведение. В координатах для натуральной параметризации:

    k_2

    Для прямой кручение не определено, поскольку неоднозначно определяется соприкасающаяся плоскость. Плоская кривая в каждой точке имеет кручение, равное нулю. Обратно, кривая с тождественно равным нулю кручением — плоская.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины