» » »

30. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

1.10. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Теорема 1.5 Пусть в замкнутой области D задана функция z=z(x,y), имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Граница Г области D является кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков гладких на ощупь кривых или прямых). Тогда в области Dфункция z(x,y) достигает своего наибольшего M и наименьшего m значений.

Без доказательства.

Можно предложить следующий план нахождения M и m. 
1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D и находим все угловые точки границы. 
2. Находим стационарные точки внутри D. 
3. Находим стационарные точки на каждой из границ. 
4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M и наименьшее m значения. 

Пример 1.14 Найти наибольшее M и наименьшее m значения функции z = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой области D, ограниченной: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

Решение

1. Построим область D (рис. 1.5) на плоскости Оху.
Угловые точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0).

Граница Г области D состоит из трёх частей:

2. Найдём стационарные точки внутри области D:
3. Стационарные точки на границах l1, l2, l3:
4. Вычисляем шесть значений:

Из полученных шести значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ:


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины