Главная
»
Общенаучные дисциплины
»
Математика (2 семестр)
»
Оператор Гамильтона. Некоторые его применения.
Оператор Гамильтона. Некоторые его применения.
Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом
(набла) (в Юникоде U+2207
, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах оператор набла определяется следующим образом:
,
где
— единичные векторы по осям x, y, z.
Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа (см. ниже). Широко употребляется в описанном смысле в физике и математике (хотя иногда графический символ
используется также для обозначения некоторых других, хотя в некотором отношении не совсем далеких от рассмотренного, математических объектов, например, ковариантной производной).
Под n-мерным оператором набла подразумевается вектор с компонентами
в n-мерном пространстве.
Иногда, особенно при начертании от руки, над оператором набла рисуют стрелку:
— чтобы подчеркнуть векторный характер оператора. Смысл такого начертания ничем не отличается от обычного
.
- Иногда (особенно когда речь идет только о применении к скалярным функциям), оператор набла называют оператором градиента, каковым он в применении к скалярным функциям (полям) и является.
- Замечание: в физике в наше время название оператор Гамильтона по отношению к оператору набла стараются не употреблять, особенно в квантовой физике, во избежание путаницы с квантовым гамильтонианом, имеющим, в отличие от классического, операторную природу.
Свойства оператора набла
Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.
Если умножить вектор
на скаляр φ, то получится вектор
,
который представляет собой градиент функции φ.
Если вектор
скалярно умножить на вектор
, получится скаляр
,
то есть дивергенция вектора
.
Если
умножить на
векторно, то получится ротор вектора
:
![\nabla](http://upload.wikimedia.org/math/7/9/9/799ed8b30a9a5add0c97cbeba25e0c95.png)
- Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использоваными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо
нередко пишут
, а вместо
пишут
; это касается и формул, приводимых ниже.
Соответственно, скалярное произведение
есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также
. В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:
.
Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:
![\mathbf\operatorname{grad}(\phi\psi)=\mathbf\nabla(\phi\psi)=\psi\mathbf\nabla\phi+\phi\mathbf\nabla\psi=\psi\](http://upload.wikimedia.org/math/1/d/e/1de7fd1e7870a108b6cee058093dff20.png)
![\operatorname{div}(\mathbf\operatorname{grad}\phi)=\nabla\cdot(\nabla\phi)=(\nabla\cdot\nabla)\phi=\nabla^2\phi](http://upload.wikimedia.org/math/4/c/a/4ca3c37878d965b3dde683f8c54f893e.png)
То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.
Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:
![\nabla](http://upload.wikimedia.org/math/2/a/d/2adb38a0a89a3b49d6a642578280558e.png)
Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.
Операторы второго порядка
Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:
![\mbox{div}\,(\mbox{grad}\,f](http://upload.wikimedia.org/math/7/9/e/79ebb50b8481b0870c64cd7bb55074df.png)
![\mbox{rot}\,(\mbox{grad}\,f](http://upload.wikimedia.org/math/3/b/7/3b78f18525353ea9ffd0ab38e3eb8801.png)
![\Delta](http://upload.wikimedia.org/math/c/5/d/c5d7c95adc6e80e3357c6463fc4d714e.png)
![\mbox{grad}\,(\mbox{div}\,](http://upload.wikimedia.org/math/6/8/d/68d448216b951bfdee0f4e2ce2603aa3.png)
![\mbox{div}\,(\mbox{rot}\,\vec](http://upload.wikimedia.org/math/5/5/e/55eeed0f8ecf4eaa0fdb60db4b1bd724.png)
![\mbox{rot}\,(\mbox{rot}\,\vec](http://upload.wikimedia.org/math/b/f/0/bf05588ab60b8f9faa4b888a25687d7f.png)
![\Delta](http://upload.wikimedia.org/math/3/3/6/3369de0eed31fed226bae61e495d0e90.png)
Для достаточно гладких полей (дважды непрерывно дифференцируемых) эти операторы не независимы. Два из них всегда равны нулю:
![\mbox{rot}\,(\mbox{grad}\,f](http://upload.wikimedia.org/math/0/d/4/0d4da1cd6db11263449af87f74e6a661.png)
![\mbox{div}\,(\mbox{rot}\,\vec](http://upload.wikimedia.org/math/2/8/c/28cc8cf978e330323b631a0759e02d9a.png)
Два всегда совпадают:
![\mbox{div}\,(\mbox{grad}\,f](http://upload.wikimedia.org/math/5/7/5/5755db18960132c3c973a4480100c38d.png)
Три оставшихся связаны соотношением:
![(\nabla](http://upload.wikimedia.org/math/d/2/4/d2444b70d4c0db1ec79ea1d6ef28f80b.png)
Еще одно может быть выражено через тензорное произведение векторов:
![\nabla](http://upload.wikimedia.org/math/e/5/a/e5ad82647365675fc988e2467bf10105.png)
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.