» » »

61. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения.

Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом \nabla (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах[1] оператор набла определяется следующим образом:

\nabla={\partial\over\partial,

где \vec — единичные векторы по осям x, y, z.

Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа(см. ниже). Широко употребляется в описанном смысле в физике и математике (хотя иногда графический символ \nabla используется также для обозначения некоторых других, хотя в некотором отношении не совсем далеких от рассмотренного, математических объектов, например, ковариантной производной).

Под n-мерным оператором набла подразумевается вектор с компонентами {\partial\over\partial в n-мерном пространстве[2].

Иногда, особенно при начертании от руки, над оператором набла рисуют стрелку: \vec — чтобы подчеркнуть векторный характер оператора. Смысл такого начертания ничем не отличается от обычного \nabla.

  • Иногда (особенно когда речь идет только о применении к скалярным функциям), оператор набла называют оператором градиента, каковым он в применении к скалярным функциям (полям) и является.
  • Замечание: в физике в наше время название оператор Гамильтона по отношению к оператору набла стараются не употреблять, особенно в квантовой физике, во избежание путаницы с квантовым гамильтонианом, имеющим, в отличие от классического, операторную природу.

Свойства оператора набла

Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

Если умножить вектор \nabla на скаляр φ, то получится вектор

\nabla\phi={\partial\phi\over\partial,

который представляет собой градиент функции φ.

Если вектор \nabla скалярно умножить на вектор \vec{a}, получится скаляр

\nabla\cdot\vec{a},

то есть дивергенция вектора \vec{a}.

Если \nabla умножить на \vec{a} векторно, то получится ротор вектора \vec{a}:

\nabla
  • Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использоваными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо \nabla нередко пишут (\nabla,, а вместо \nabla пишут [\nabla,\vec; это касается и формул, приводимых ниже.

Соответственно, скалярное произведение \nabla\cdot\nabla=\nabla^2 есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также \. В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

\Delta={\partial^2\over\partial.

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

\mathbf\operatorname{grad}(\phi\psi)=\mathbf\nabla(\phi\psi)=\psi\mathbf\nabla\phi+\phi\mathbf\nabla\psi=\psi\
\operatorname{div}(\mathbf\operatorname{grad}\phi)=\nabla\cdot(\nabla\phi)=(\nabla\cdot\nabla)\phi=\nabla^2\phi

То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.

Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:

\nabla

Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

Операторы второго порядка

Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:

\mbox{div}\,(\mbox{grad}\,f
\mbox{rot}\,(\mbox{grad}\,f
\Delta
\mbox{grad}\,(\mbox{div}\,
\mbox{div}\,(\mbox{rot}\,\vec
\mbox{rot}\,(\mbox{rot}\,\vec
\Delta

Для достаточно гладких полей (дважды непрерывно дифференцируемых) эти операторы не независимы. Два из них всегда равны нулю:

\mbox{rot}\,(\mbox{grad}\,f
\mbox{div}\,(\mbox{rot}\,\vec

Два всегда совпадают:

\mbox{div}\,(\mbox{grad}\,f

Три оставшихся связаны соотношением:

(\nabla

Еще одно может быть выражено через тензорное произведение векторов:

\nabla

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.