Главная » Общенаучные дисциплины » Математика (2 семестр) » Оператор Гамильтона. Некоторые его применения.

Оператор Гамильтона. Некоторые его применения.

Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом $\nabla$ (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах оператор набла определяется следующим образом:

$\nabla={\partial\over\partial$ ,

где $\vec$ — единичные векторы по осям x, y, z.

Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа (см. ниже). Широко употребляется в описанном смысле в физике и математике (хотя иногда графический символ $\nabla$ используется также для обозначения некоторых других, хотя в некотором отношении не совсем далеких от рассмотренного, математических объектов, например, ковариантной производной).

Под n-мерным оператором набла подразумевается вектор с компонентами ${\partial\over\partial$ в n-мерном пространстве.

Иногда, особенно при начертании от руки, над оператором набла рисуют стрелку: $\vec$ — чтобы подчеркнуть векторный характер оператора. Смысл такого начертания ничем не отличается от обычного $\nabla$ .

Иногда (особенно когда речь идет только о применении к скалярным функциям), оператор набла называют оператором градиента, каковым он в применении к скалярным функциям (полям) и является.

Замечание: в физике в наше время название оператор Гамильтона по отношению к оператору набла стараются не употреблять, особенно в квантовой физике, во избежание путаницы с квантовым гамильтонианом, имеющим, в отличие от классического, операторную природу.

Свойства оператора набла

Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

Если умножить вектор $\nabla$ на скаляр $φ$ , то получится вектор

$\nabla\phi={\partial\phi\over\partial$ ,

который представляет собой градиент функции $φ$ .

Если вектор $\nabla$ скалярно умножить на вектор $\vec{a}$ , получится скаляр

$\nabla\cdot\vec{a}$ ,

то есть дивергенция вектора $\vec{a}$ .

Если $\nabla$ умножить на $\vec{a}$ векторно, то получится ротор вектора $\vec{a}$ :

$\nabla$

Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использоваными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо $\nabla$ нередко пишут $(\nabla,$ , а вместо $\nabla$ пишут $[\nabla,\vec$ ; это касается и формул, приводимых ниже.

Соответственно, скалярное произведение $\nabla\cdot\nabla=\nabla^2$ есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также $\$ . В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

$\Delta={\partial^2\over\partial$ .

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

$\mathbf\operatorname{grad}(\phi\psi)=\mathbf\nabla(\phi\psi)=\psi\mathbf\nabla\phi+\phi\mathbf\nabla\psi=\psi\$

$\operatorname{div}(\mathbf\operatorname{grad}\phi)=\nabla\cdot(\nabla\phi)=(\nabla\cdot\nabla)\phi=\nabla^2\phi$

То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.

Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:

$\nabla$

Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

Операторы второго порядка

Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:

$\mbox{div}\,(\mbox{grad}\,f$