» » »

1. Понятие и представление комплексных чисел

1. Понятие и представление комплексных чисел

Алгебраическая форма комплексного числа. Аргумент и модуль комплексного числа.

      Определение 1: Комплексным числом называется пара действительных чисел (x,y). Причем комплексное число z = x + i*y, где i - мнимая единица. Данное определение и задает представление комплексного числа в алгебраической форме. Введем ещё несколько определений, в частности поясним понятие аргумента и модуля комплексного числа.  

     Определение 2: Аргументом комплексного числа называется значение угла arg(z)=\varphi. Главное значение аргумента находится на отрезке от минус 180 до 180.  

     Определение 3: Модулем комплексного числа называется число |z|.

Модуль

Геометрической интерпретацией модуля комплексного числа является длина вектора \vec{OM}. А аргумент комплексного числа - это угол отклонения данного вектора от положительного направления оси абсцисс, т.е. arg(z).

Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра

z слева у нас алгебраическая форма числа, справа тригонометрическая форма числа.

r - модуль комплексного числа z.

\varphi - главный аргумент комплексного числа z. 

     Теорема 1: Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения двух комплексных чисел равен сумме модулей, т.е. |z_{1}*z_{2}|.

Теорема легко доказывается, если мы возьмем два комплексных числа в тригонометрической форме и перемножим их между собой и результат снова представим в тригонометрической форме.

z^{n} - это и естьформула Муавра

Как видно из формулы Муавра результат возведения в степень комплексного числа однозначный. Что нельзя сказать про взятия корня из комплексного числа.

     Теорема 2: Корень n-ой степени из ненулевого комплексного числа имеет n-значений, которые лежат на окружности радиуса \sqrt[n]{r} и делят её на n равных частей и могут быть найдены по следующей формуле:

u

     Замечание 1: Значение параметра k не обязательно брать от 0 до n - 1, нужно брать любые n подряд идущих целых числа.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины