Главная » Общенаучные дисциплины » Математика (2 семестр) » 16. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула Симпсона.

16. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула Симпсона.

16. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула Симпсона.

Если для каждой пары отрезков  построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.

Рассмотрим подынтегральную функцию  на отрезке . Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с  в точках :

Проинтегрируем :

Формула:

и называется формулой Симпсона.

Полученное для интеграла  значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми ,  и параболой, проходящей через точки 

Оценим теперь погрешность интегрирования  по формуле Симпсона. Будем считать, что у  на отрезке  существуют непрерывные производные . Составим разность

К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку  непрерывна  на  и функция  неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором ( то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому:

(мы воспользовались теоремой о среднем, поскольку  - непрерывная функция; ).

    Дифференцируя  дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для  другое выражение:

, где 

   Из обеих оценок для  следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона, напрмер, в виде:

, .

Если отрезок  интегрирования слишком велик, то его разбивают на  равных частей (полагая ), после чего к каждой паре соседних отрезков , ,..., применяют формулу Симпсона, именно:

Запишем формулу Симпсона в общем виде:

    (1)

        (2)

  Погрешность формулы Симпсона - метода четвертого порядка:

,       (3)

Так как метод Симпсона позволяет получить высокую точность, если не слишком велика. В противном случае метод второго порядка может дать     большую точность.

Например, для функции   форма трапеции при  для  дает точный результат , тогда как по формуле Симпсона получаем 


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Дисциплины