Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

         1°.   Уравнение

                                                                                  (7.1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции  U (x, y) и следовательно его можно записать в виде:                                                                  

                                            dU=0   U=const=c  

Например, уравнение  xdy+ydx=0, есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно записать в виде d(xy)=0   и, значит,  xy=c.

Если функции M и N в области задания непрерывны и имеют частные производные соответственно по y и по  x, то для того чтобы уравнение  (7.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество

                                                                                                              (7.2)

Если условие  (7.2) выполнено, то решение можно записать в виде

                                                                                    (7.3)

 либо                                      

                                                   ,                                (7.4)

где   – произвольная точка в области задания функций  M и N. 

         Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , в случае когда функции M и N  не обращаются одновременно в 0 в точке  , можно найти обычным путем, определив константу c из общего решения, а можно в формулах  (7.3)  и  (7.4) положить :

                                                                                 (7.5)

либо

                                                                                  (7.6)

П. 7.1             .

Проверяем выполнение условий  (7.2).   уравнение в полных дифференциалах. Полагаем  тогда   По формуле  (7.3) находим  ,                          - общий  интеграл. 

П. 7.2             

Проверяем выполнение условий  (7.2).      уравнение в полных  дифференциалах. Полагаем  c=0, тогда   По формуле (7..5)  находим

     ,                   

2°.Существуют  уравнения  вида   (7.1)    , которые не являются уравнениями в полных дифференциалах, но после умножения обеих частей уравнения на некоторую функцию  получается уравнение в полных дифференциалах

Функция    называется  интегрирующим множителем, а функция U соответствующим ему интегралом  уравнения (7.1).

Ясно, что если заданное уравнение уже является уравнением в полных дифференциалах, то  

Интегрирующий множитель должен удовлетворять уравнению с частными производны-ми :                                   (7.7)

Если  заранее известно, что  является  некоторой  функцией  от , ,  где   заданная  функция от    то уравнение  (7.7) сводится к линейному уравнению относительно неизвестной функции  , зависящей от переменной :

                                                    ,                                                                  (7.8)

где                                    .                                                           (7.9)

            Решив уравнение  (7.8), найдем интегрирующий множитель   .

В частности, если выполнено условие

                                      либо           ,             (7.10)

то интегрирующий множитель        либо       .

            П. 7.3          

Проверим, не имеет ли уравнение интегрирующий множитель, зависящий только от  x:

. Умножая  обе части исходного уравнения на    , получим:

                                      .

Легко проверить, что получено уравнение в полных дифференциалах. Действительно,

     . Далее,  ,

 - общий  интеграл.   

П. 7.4                   

Проверяем  выполнение условиий  (7.10):  ,

      , 

         Т.о.,   .  По формуле (7.3) при  имеем

 - общее решение.

П. 7.5             . Известно,  что   , 

найти интегрирующий множитель. По формуле  (7.9) находим:  

     .  

          П. 7.6      . Известно,  что   ,   

проинтегрировать уравнение. По формуле  (7.9) находим:

  . Умножая  обе части исходного уравнения на  , получаем:   -  уравнение в полных дифференциалах.  По формуле  (7.3)  при  находим  ,  ,    - общий интеграл.  

          Следует иметь в виду, что при умножении обеих частей уравнения на интегриру-ющий множитель может появиться постороннее решение – точки кривой   .

          Замечание. Полезно обратить внимание на то, что уравнения с разделяющимися переменными, однородные, обобщенные однородные и уравнения в полных дифферен-циалах имеют одинаковый внешний вид.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.