» » »

29. Условный экстремум. Множитель Лагранжа. Необходимое условие существования условного экстремума. Достаточное условие существования условного экстремума

Пусть {G - открытое множество и на G заданы функции y_{i}. Обозначим E такую, что

\forall - уравнение связи.

[править]Определение

Пусть на G определена функция y. Точка \bar называется точкой условного экстремума функции y относительно уравнений связи, если она является точкой обычного экстремума f_{0}(\bar на множестве E ( рассматриваются окрестности U_{E}(\bar ).

[править]Метод множителей Лагранжа для решения задачи условного экстремума

[править]Теорема

Пусть \bar - точка условного экстремума функции f_{0}(\bar при выполнении уравнений связи. Тогда в этой точке \bar градиенты \nabla являются линейно зависимыми, то есть \exists но \sum^{m}_{i=0}.

[править]Следствие

Если \bar - точка условного экстремума функции f_{0}(\bar относительно уравнений связи, то \exists такие, что в точке \bar или в координатном виде \frac{\partial.

[править]Достаточное условие условного экстремума

Пусть \bar является стационарной точкой функции Лагранжа L(\bar при \lambda. Если d^2 - отрицательно (положительно) определена квадратическая форма переменных dx_{1},\dots,dx_{n} при условии df_{1}(\bar, то \bar является точкой max (min для положительно определенной) условного экстремума. Если она за этих условий не является знакоопределенной, тогда экстремума нет.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.