Главная » Общенаучные дисциплины » Математика (2 семестр) » Условный экстремум. Множитель Лагранжа. Необходимое условие существования условного экстремума. Достаточное условиесуществования условного экстремума

Условный экстремум. Множитель Лагранжа. Необходимое условие существования условного экстремума. Достаточное условиесуществования условного экстремума

Пусть {G - открытое множество и на G заданы функции y_{i}. Обозначим E такую, что

\forall - уравнение связи.

Определение

Пусть на G определена функция y. Точка \bar называется точкой условного экстремума функции y относительно уравнений связи, если она является точкой обычного экстремума f_{0}(\bar на множестве E ( рассматриваются окрестности U_{E}(\bar ).

Метод множителей Лагранжа для решения задачи условного экстремума

Теорема

Пусть \bar - точка условного экстремума функции f_{0}(\bar при выполнении уравнений связи. Тогда в этой точке \bar градиенты \nabla являются линейно зависимыми, то есть \exists но \sum^{m}_{i=0}.

Следствие

Если \bar - точка условного экстремума функции f_{0}(\bar относительно уравнений связи, то \exists такие, что в точке \bar или в координатном виде \frac{\partial.

Достаточное условие условного экстремума

Пусть \bar является стационарной точкой функции Лагранжа L(\bar при \lambda. Если d^2 - отрицательно (положительно) определена квадратическая форма переменных dx_{1},\dots,dx_{n} при условии df_{1}(\bar, то \bar является точкой max (min для положительно определенной) условного экстремума. Если она за этих условий не является знакоопределенной, тогда экстремума нет.

 


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Дисциплины