» » »

59. Векторное поле. Поток поля. Циркуляция.

Векторные поля

К простейшим векторным полям относятся: соленоидальное, потенциальное игармоническое.

     Определение 1: Векторное поле\vec{u}(M) называется соленоидальным или трубчатым, если во всех точках поля  div\vec{a}(M)=0
Соленоидальное поле не имеет ни источников, ни стоков, его векторные линии замкнуты. Поскольку  div\vec{B}=0, то поле вектора магнитной индукции является соленоидальным.

     Определение 2: Векторное поле div\vec{a}(M)называется потенциальным илибезвихревым, если во всех точках поля rot\vec{a}(M)=0     
Для потенциального векторного поляvec{a}(M)всегда найдется такая скалярная функция  u(M) (потенциал векторного поляvec{a}(M)), что vec{a}(M).
Потенциал векторного поля\vec{a}(M) можно найти по формуле
u(x,y,z)

гдеM(x_{0},y_{0},z_{0})  – произвольная точка поля, в которой функции P, Q, R определены, С – произвольная постоянная.

 

     Определение 3: Векторное поле называется гармоническим, если во всех точках поля div\vec{a}(M)=0иrot\vec{a}(M)=0                   
и  
т.е. поле является соленоидальным и потенциальным.
Потенциал u гармонического поля удовлетворяет уравнению Лапласа

\frac{\partial^2

Циркуляция векторного поля

     Рассмотрим непрерывное векторное поле \vec{a}(M) определённое в каждой точке гладкой замкнутой кривой L.
     Определение 4: Циркуляцией С векторного поля \vec{a}(M) вдоль замкнутой кривой L называется криволинейный интеграл второго рода

C


     В случае, когда векторное поле \vec{a}(M)является силовым полем, циркуляция даёт величину работы этого поля вдоль кривой L .
     Если кривая L лежит в плоскости xOy, то направление обхода против часовой стрелки считается положительным, а по часовой – отрицательным.


Примеры циркуляций векторных полей:
1.    Циркуляция вектора напряженности\vec{E}электрического поля вдоль контура L равна э.д.с.,  возникающей в этом контуре C
2.    Циркуляция вектора напряженности\vec{H}магнитного поля вдоль контура L равна силе тока в этом контуре {tex}C = \oint_{L}\vec{H}d\vec{l} = i{/thttp://naotlichno.by/administrator/index.php?option=com_content&sectionid=0&task=edit&cid[]=22ex}


Понятие о поверхностных интегралах.
Поток векторного поля

Пусть в каждой точке некоторой поверхности S определен непрерывный вектор \vec{a}(M)
Зададим направление нормали \vec{n} к поверхности S (эту сторону поверхности считаем положительной). Проекцияa_{n}вектора\vec{a}в каждой точке M поверхности S будет являться скаляром. Поэтому функция a_{n}(x,y,z) будет скалярной функцией и от нее можно вычислить поверхностный интеграл первого рода.
     Определение 5: Поверхностным интегралом второго рода от вектора\vec{a}(M) по поверхности S называется поверхностный интеграл первого рода от проекцииa_{n}(M)этого вектора на вектор нормали n к S и обозначается

\iint_{S}\vec{a}*


В теории поля поверхностный интеграл второго рода называется потоком векторного поля\vec{a}(M)через поверхность.


Примеры потоков векторных полей
1) Поток  электрического поля точечного заряда напряженностью\vec{E}через замкнутую поверхность S, охватывающую этот заряд, равен

\phi_{e}.


2) Поток магнитного поля с индукцией \vec{B} через поверхность S равен

\phi_{m}

 

     Из этой статьи Вы узнали:

  • основные вида простейших векторных полей: соленоидальное, потенциальноеи гармоническое
  • способы определения вида векторного поля
  • циркуляцию векторного поля и формулу подсчета циркуляции
  • поток векторного поля и формулу подсчета потока векторного поля

 


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.