Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла.

11.  Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла. . 

Пусть на отрезке [a,b] (b>a) задана непрерывная функция y = f(x) , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения :  при . Требуется определить площадь S криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).  
Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание AD фигуры точками x₀ = a, x₁ , x₂ , …, x_n-1 = a, x_n = b на n частей [x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_i-1 , x_i], …, [x_n-1 ,x_n]; символом  будем обозначать длину i-го отрезка: . На каждом из отрезков [x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение  (это произведение равно площади прямоугольника P_i с основанием [x_i-1 , x_i] и высотой  ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим S _ступ: . 
S_ступ равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками P_i , i = 1,2,…,n; на левом рисунке эта площадь заштрихована. S_ступ не равна искомой площади S, она только даёт некоторое приближение к S. Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество n отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков  стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при n = 7 (слева) и при n = 14 (справа)). При  разница между S_ступ иS будет тоже стремиться к нулю, т.е. 
.

11.1.2. Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x₀ , x₁], [x₁ ,x₂], …, [x_i-1 , x_i], …, [x_n-1 , x_n]; длину i-го отрезка обозначим :  ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков[x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку  и составим сумму . 
Сумма  называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм  при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b] на части [x_i-1 , x_i], ни от выбора точек , то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функцииf(x) по отрезку [a,b] и обозначается . 
Функция f(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. 
Кратко определение иногда записывают так: . 
В этом определении предполагается, что b> a. Для других случаев примем, тоже по определению: 
Если b=a, то ; если b<a, то .

11.1.3. Теорема существования определённого интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку.
Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого  найдётся такое число , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек  выполняется неравенство. Требование непрерывности f(x) достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на [a,b] при условии их ограниченности (т.е. все точки разрыва должны быть точками разрыва первого рода). Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если f(x) неограничена на [a,b], то она неограничена на каком-либо[x_i-1 , x_i], т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа). 

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.