» » »

§ 11.1.2 Аксиоматическое построение теории вероятности.

1.4. Аксиоматическая теория вероятностей

В течение нескольких столетий после начала своего систематического изучения основные понятия теории вероятностей еще не были четко определены. Нечеткость базовых определений часто приводила исследователей к противоречивым выводам, а практические теоретико-вероятностные приложения были слабо обоснованы [23,40]. Дальнейшее развитие естествознания обусловило необходимость систематического изучения основных понятий теории вероятностей и определения условий, при которых возможно использование ее результатов. Особенное значение приобрело формально-логическое обоснование теории вероятностей, которое, в частности, в 1900 г. Д. Гильбертом было отнесено к числу важнейших проблем математики [93].

Формально-логический принцип построения требовал, чтобы основу теории вероятностей составили некоторые аксиоматические предпосылки, являющиеся обобщением многовекового человеческого опыта. Дальнейшее же развитие теоретико-вероятностных концепций должно было строиться посредством дедукции из аксиоматических положений без обращения к нечетким и интуитивным представлениям. Впервые такая точка зрения была развита в 1917 г. советским математиком С.Н. Берштейном. При этом С.Н. Берштейн исходил из качественного сравнения случайных событий по их большей или меньшей вероятности [23]. Математически строгое построение аксиоматической теории вероятностей предложил А.Н. Колмогоров в 1933 г., тесно связав теорию вероятностей с теорией множеств и теорией меры [23]. Аксиоматическое определение вероятности как частные случаи включает в себя и классическое и статистическое определения и преодолевает недостаточность каждого из них.

Отправным пунктом аксиоматики А.Н. Колмогорова является множество элементарных событий ω, в специальной литературе называемое фазовым пространством и традиционно обозна-чаемое через Ω. Любое наблюдаемое событие, вероятность которого необходимо определить, представимо в виде некоторого подмножества фазового пространства. Поэтому наряду с множеством Ω рассматривается множество Θ подмножеств элементарных событий, символическое обозначение которого может быть произвольным. Достоверное событие представимо всем фазовым пространством. Множество Θ называется алгеброй множеств, если выполнены следующие требования:
1) Ω ∈ Θ, ∅ ∈ Θ;
2) из того, что A ∈ Ω, следует, что так же  ∈ Θ;
3) из того, что A ∈ Θ и B ∈ Θ, следует, что A ∪ B ∈ Θ и A ∩ B∈ Θ.

Если дополнительно к перечисленным выполняется еще следующее требование:
4) из того, что An ∈ Θ (при n = 1,2...), вытекает, что

 и ,

то множество Θ называется σ-алгеброй. Элементы Θ называются случайными событиями.

Под операциями над случайными событиями в аксиоматической теории вероятностей понимаются операции над соответствующими множествами. В результате можно установить взаимное соответствие между терминами языка теории множеств и языка теории вероятностей [23].

В качестве аксиом, определяющих вероятность, А.Н. Колмогоровым приняты следующие утверждения:

Аксиома 1. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число P (A) , называемое его вероятностью.
Аксиома 2. P(Ω)= 1.
Аксиома 3 (аксиома сложения). Если события A1, A2,...,An попарно несовместимы, то

P(A1 + A2 +...+ An) = P(A1) + P(A2) +...+ P(An).

Следствиями сформулированных аксиом являются следующие утверждения.

1. Вероятность невозможного события равна нулю: P(∅) = 0.
2. Для любого события А
P() = 1 - P(A).
3. Каково бы ни было случайное событие А, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
4. Если событие А влечет за собой событие В, то P(A) ≤ P(B).

Вероятностным пространством принято называть тройку символов {Ω, Θ, P}, где Ω – множество элементарных событий ω, Θ – σ – алгебра подмножеств Ω, называемых случайными событиями, и P(A) - вероятность, определенная на σ – алгебре Θ.

Таким образом, согласно аксиоматике А.Н. Колмогорова каждому наблюдаемому событию приписывается некоторое неотрицательное число, называемое вероятностью этого события, так, чтобы вероятность всего фазового пространства была равна 1, и выполнялось свойство сигма-аддитивности. Последнее свойство означает, что в случае попарно исключающих друг друга событий вероятность наступления по крайней мере одного (и в силу попарной несовместимости, ровно одного) наблюдаемого события совпадает с суммой вероятностей наблюдаемых событий из данной конечной или счетной совокупности наблюдаемых событий [23].

В случае определения вероятности на σ - алгебре, состоящей из некоторых подмножеств Ω, первую нельзя продолжить на остальные подмножества Ω так, чтобы сохранялось свойство сигма-аддитивности, если только Ω не состоит из конечного или счетного числа элементов. Введение сигма-аддитивности также привело к ряду парадоксов [93]. Поэтому наряду с сигма-аддитивностью параллельно рассматривалось свойство аддитивности, под которым понимается эквивалентность меры объединения двух несовместных событий сумме мер этих событий. Однако, практически сразу же было показано, что замена сигма-аддитивности на аддитивность не только не решает все проблемы, но и приводит к возникновению других парадоксальных результатов [93].

Система аксиом Колмогорова является относительно непротиворечивой и неполной, позволяет строить теорию вероятностей как часть теории меры, а вероятность рассматривать как неотрицательную нормированную аддитивную функцию множества. Хотя в теории вероятностей А.Н. Колмогорова вероятность всегда неотрицательна, некоторые теоремы в теории вероятностей можно обобщить на случай, когда отрицательные числа выступают как вероятности, а также получить и другие обобщения вероятности [93].

Некоторые фундаментальные математические теории наследуют основные понятия, конструкции и терминологию теории вероятностей. Таковой, в частности, является теория возможностей, также рассматривающая пространства возможностей и элементарных событий, σ – алгебру [89].


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.