Главная » Общенаучные дисциплины » Математика (3 семестр) » Комплексные числа. Предел последовательности.Ряды комплексных чисел. Функция комплексной переменной. Предел инепрырывность функции.

Комплексные числа. Предел последовательности.Ряды комплексных чисел. Функция комплексной переменной. Предел инепрырывность функции.

1. Предел последовательности комплексных чисел. Расширенная комплексная плоскость. Числовые ряды

Функции комплексного переменного

1) -окрестностью точки  будем называть множество точек  комплексной плоскости, удовлетво-ряющих условию:  -- открытый круг с центром в точке  радиуса 

2) Пусть дана последовательность  Будем называть  пределом последовательности, если выполняется: . Тогда 

Теорема1: последовательность  имеет предел  

1) . Доказать, что 

2) . Тогда 

Теорема2: критерий Коши  -- сходится 

3) Последовательность  называется ограниченной, если 

Теорема3 (Б-В): из всякой ограниченной бесконечной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

4) Будем говорить, что , если . Окрестностью бесконечно удалённой точки будем называть внешность любого круга с центром в н/к достаточно большого радиуса

5) Комплексная плоскость с -удалённой точкой -- расширенная комплексная плоскость

Это сфера Римана (стереографическая проекция)

2. Понятие функции комплексной переменного. Предел. Непрерывность

1) Область -- множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим двум условиям:

            1) Все точки этого множества внутренние

            2) Любые 2 точки этого множества можно соединить ломаной, лежащей в этой области

Область будем обозначать 

 -- область с границей, замкнутая область

2) Область  называется односвязной, если она удовлетворяет следующему условию: какую бы замкнутую непрерывную кривую в этой области мы не взяли, часть плоскости, внутренняя по отношению кривой, такжу принадлежит этой области

Проще говоря, односвязная область -- область без дыр

3) На комплексной плоскости задана функция , если указано правило, по которому каждому  ставится одно или несколько значений . В первом случае функция  однозначная, во втором -- многозначная

 -- однозначная

 -- многозначная (-значная)

Поскольку , то ,  и  -- вещественные функции: 

4) , если выполняется условие: 

5) Функция называется непрерывной в точке , если  и 

Непрерывность в области означает непрерывность в каждой точке области

6)  называется равномерно непрерывной в области , если выполняется следующее условие: 


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Дисциплины