1. Предел последовательности комплексных чисел. Расширенная комплексная плоскость. Числовые ряды
Функции комплексного переменного
1) -окрестностью точки
будем называть множество точек
комплексной плоскости, удовлетво-ряющих условию:
-- открытый круг с центром в точке
радиуса
2) Пусть дана последовательность Будем называть
пределом последовательности, если выполняется:
. Тогда
Теорема1: последовательность имеет предел
1) . Доказать, что
2) . Тогда
Теорема2: критерий Коши -- сходится
3) Последовательность называется ограниченной, если
Теорема3 (Б-В): из всякой ограниченной бесконечной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность
4) Будем говорить, что , если
. Окрестностью бесконечно удалённой точки будем называть внешность любого круга с центром в н/к достаточно большого радиуса
5) Комплексная плоскость с -удалённой точкой -- расширенная комплексная плоскость
Это сфера Римана (стереографическая проекция)
2. Понятие функции комплексной переменного. Предел. Непрерывность
1) Область -- множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим двум условиям:
1) Все точки этого множества внутренние
2) Любые 2 точки этого множества можно соединить ломаной, лежащей в этой области
Область будем обозначать
-- область с границей, замкнутая область
2) Область называется односвязной, если она удовлетворяет следующему условию: какую бы замкнутую непрерывную кривую в этой области мы не взяли, часть плоскости, внутренняя по отношению кривой, такжу принадлежит этой области
Проще говоря, односвязная область -- область без дыр
3) На комплексной плоскости задана функция , если указано правило, по которому каждому
ставится одно или несколько значений
. В первом случае функция
однозначная, во втором -- многозначная
-- однозначная
-- многозначная (
-значная)
Поскольку , то
,
и
-- вещественные функции:
4) , если выполняется условие:
5) Функция называется непрерывной в точке
, если
и
Непрерывность в области означает непрерывность в каждой точке области
6) называется равномерно непрерывной в области
, если выполняется следующее условие:
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.