Главная
»
Общенаучные дисциплины
»
Математика (3 семестр)
»
Функциональные и степенные ряды
Функциональные и степенные ряды
Равномерносходящиеся функциональные ряды
-- функциональный ряд, где
-- функции, заданные на 
Если фиксировать
, то получим
-- числовой ряд. Если он сходится, то
-- точка сходимости данного функционального ряда
-- сумма ряда. Если ряд равномерно сходится, то
будет непрерывной
1)
-- равномерно сходящийся к своей предельной функции
на
, если выполняется следующее условие: 
Теорема6: пусть члены функционального ряда
есть функции непрерывные на множестве
и данный ряд равномерно сходится на этом множестве, тогда сумма этого ряда есть функция, непрерывная на множестве 
Возьмём
. Тогда:
-- непрерывность функций
-- равномерная сходимость


Так как
, то она непрерывна как сумма конечного числа непрерывных функций. Тогда 
Теорема7 (критерий Коши для равномерной сходимости функциональных рядов): чтобы
равномерно сходился на
, 

Теорема8 (признак Вейерштрасса)
Пусть
и
-- сходится
Тогда
равномерно сходится на 
Сравнивать комплексные числа мы не можем, поэтому нет признаков Абеля и Дирихле)
7. Степенные ряды. Теорема Адамара
-- степенной ряд
-- степенной ряд
При
любой степенной ряд сходится
Теорема9 (Абеля): пусть
-- сходится в точке
, тогда данный ряд сходится в любой точке, что 
Доказательство: пусть
-- сходится 
Пусть теперь
. Тогда 
Пусть
, причём
, тогда 
Ряд
-- сходится как геометрическая прогрессия с показателем меньше 1. Тогда по признаку сравнения наш ряд сходится
Следствие: для
, что 
-- радиус сходимости степенного ряда.
-- круг сходимости степенного ряда
Теорема10 (Коши-Адамара): рассмотрим степенной ряд
, тогда 
Пусть
, тогда можно рассмотреть 3 случая: 
Во всех трёх случаях надо доказать, что 
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.