Главная
»
Общенаучные дисциплины
»
Математика (3 семестр)
»
Производная функции. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Конфорное отображение. Геометрический смысларгумента и модуля производной аналитической функции.
Производная функции. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Конфорное отображение. Геометрический смысларгумента и модуля производной аналитической функции.
Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римана
1) Производной функции
в точке
мы будем называть предел отношения вида: ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image095.gif)
2) Функция называется дифференцируемой в точке
, если у неё в этой точке существует конечная производная. Учитываются все пути ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image097.gif)
Теорема4 (условие Коши-Римана): пусть
-- дифференцируема в точке
, причём
. Тогда функции
и
в точке
имеют частные производные, причём
и ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image113.gif)
Теорема5: пусть дана ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image103.gif)
Пусть
и
-- дифференцируемы в точке
, и в этой области выполняется условие Коши-Римана. Тогда
-- дифференцируема в точке ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image020.gif)
3)
называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области
4) Функция называется аналитичной в области
, если она дифференцируема в области ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image052.gif)
Понятие аналитичности функции относится к области, но бы и про конкретную точку будем говорить, что функция аналитична в этой точке, имея ввиду аналитичность в окрестности этой точки
4. Сопряжённые гармонические функции
-- уравнение Лапласа
-- оператор Лапласа
1) Функцию
, удовлетворяющую уравнению Лапласа, мы будем называть гармонической функцией
Действительная часть аналитической функции есть функция гармоническая:
![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image152.gif)
Аналогично можно показать, что мнимая часть аналитической функции есть функция гармоническая
2) Две гармонические функции, удовлетворяющие условиям Коши-Римана, мы будем называть сопряжёнными гармоническими функциями
5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
Пусть
-- аналитична в области
. Возьмём точку
из области
и потребуем, чтобы
(так как у нуля аргумент не определён)
![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image157.jpg)
тттттт
1) Отображение, обладающее 2 свойствами: консерватизмом углов и постоянством растяжений, мы будем называть конформным отображением
При этом если углы сохраняются по направлению, то конформное отображение -- отображение 1 рода, а если меняются на противоположные, то 2 рода. Таким образом, отображение, задаваемое аналитической функцией в тех точках, где производная
, есть конформное отображение 1 рода
Конформное преобразование (математическое), отображение одной фигуры (области) на другую, при котором две любые кривые, пересекающиеся под некоторым углом во внутренней точке первой фигуры, преобразуются в кривые второй фигуры, пересекающиеся под тем же углом.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.