3. Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римана
1) Производной функции в точке
мы будем называть предел отношения вида:
2) Функция называется дифференцируемой в точке , если у неё в этой точке существует конечная производная. Учитываются все пути
Теорема4 (условие Коши-Римана): пусть -- дифференцируема в точке
, причём
. Тогда функции
и
в точке
имеют частные производные, причём
и
Теорема5: пусть дана
Пусть и
-- дифференцируемы в точке
, и в этой области выполняется условие Коши-Римана. Тогда
-- дифференцируема в точке
3) называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области
4) Функция называется аналитичной в области , если она дифференцируема в области
Понятие аналитичности функции относится к области, но бы и про конкретную точку будем говорить, что функция аналитична в этой точке, имея ввиду аналитичность в окрестности этой точки
4. Сопряжённые гармонические функции
-- уравнение Лапласа
-- оператор Лапласа
1) Функцию , удовлетворяющую уравнению Лапласа, мы будем называть гармонической функцией
Действительная часть аналитической функции есть функция гармоническая:
Аналогично можно показать, что мнимая часть аналитической функции есть функция гармоническая
2) Две гармонические функции, удовлетворяющие условиям Коши-Римана, мы будем называть сопряжёнными гармоническими функциями
5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
Пусть -- аналитична в области
. Возьмём точку
из области
и потребуем, чтобы
(так как у нуля аргумент не определён)
тттттт
1)
Отображение, обладающее 2 свойствами: консерватизмом углов и
постоянством растяжений, мы будем называть конформным отображением
При этом если углы сохраняются по направлению, то конформное отображение -- отображение
1 рода, а если меняются на противоположные, то 2 рода. Таким образом,
отображение, задаваемое аналитической функцией в тех точках, где
производная , есть конформное отображение 1 рода
Конформное преобразование (математическое), отображение одной фигуры (области) на другую, при котором две любые кривые, пересекающиеся под некоторым углом во внутренней точке первой фигуры, преобразуются в кривые второй фигуры, пересекающиеся под тем же углом.
Будем обозначать через – расширенную комплексную плоскость переменного z, т. е.
– множества точек на плоскости
– точки комплексной плоскости и их комплексные координаты.
Если а – действительное число, то символом [a;+ ] (соответственно [–
;a]) обозначено множество действительных чисел х, для которых выполняется неравенство x
a (соответственно x
a), включающее бесконечную точку.
Известно, что отображение w=w(z) области на область
будет конформным, если это отображение взаимно однозначно и функция w(z) является аналитической в области Dz, за исключением, быть может, одной точки, в которой эта функция имеет полюс первого порядка.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.