§ 9.2.1 Производная функции. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Конфорное отображение. Геометрический смысл аргумента и модуля производной аналитической функции.

3. Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римана

1) Производной функции  в точке  мы будем называть предел отношения вида: 

2) Функция называется дифференцируемой в точке , если у неё в этой точке существует конечная производная. Учитываются все пути 

Теорема4 (условие Коши-Римана): пусть  -- дифференцируема в точке , причём . Тогда функции  и  в точке  имеют частные производные, причём  и 

Теорема5: пусть дана 

Пусть  и  -- дифференцируемы в точке , и в этой области выполняется условие Коши-Римана. Тогда  -- дифференцируема в точке 

3)  называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области

4) Функция называется аналитичной в области , если она дифференцируема в области 

Понятие аналитичности функции относится к области, но бы и про конкретную точку будем говорить, что функция аналитична в этой точке, имея ввиду аналитичность в окрестности этой точки

4. Сопряжённые гармонические функции

 -- уравнение Лапласа

 -- оператор Лапласа

1) Функцию , удовлетворяющую уравнению Лапласа, мы будем называть гармонической функцией

Действительная часть аналитической функции есть функция гармоническая:

Аналогично можно показать, что мнимая часть аналитической функции есть функция гармоническая

2) Две гармонические функции, удовлетворяющие условиям Коши-Римана, мы будем называть сопряжёнными гармоническими функциями

5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной

Пусть  -- аналитична в области . Возьмём точку  из области  и потребуем, чтобы  (так как у нуля аргумент не определён)

тттттт

1) Отображение, обладающее 2 свойствами: консерватизмом углов и постоянством растяжений, мы будем называть конформным отображением

При этом если углы сохраняются по направлению, то конформное отображение -- отображение 1 рода, а если меняются на противоположные, то 2 рода. Таким образом, отображение, задаваемое аналитической функцией в тех точках, где производная , есть конформное отображение 1 рода

Конформное преобразование (математическое), отображение одной фигуры (области) на другую, при котором две любые кривые, пересекающиеся под некоторым углом во внутренней точке первой фигуры, преобразуются в кривые второй фигуры, пересекающиеся под тем же углом. 

Будем обозначать через  – расширенную комплексную плоскость переменного z, т. е.  – множества точек на плоскости  – точки комплексной плоскости и их комплексные координаты.

Если а – действительное число, то символом [a;+ ] (соответственно [– ;a]) обозначено множество действительных чисел х, для которых выполняется неравенство xa (соответственно x a), включающее бесконечную точку.

Известно, что отображение w=w(z) области на область  будет конформным, если это отображение взаимно однозначно и функция w(z) является аналитической в области D_z, за исключением, быть может, одной точки, в которой эта функция имеет полюс первого порядка.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.