Главная
»
Общенаучные дисциплины
»
Математика (3 семестр)
»
Интегральная теорема Коши.
Интегральная теорема Коши.
Интегральная формула Коши
Теорема16: пусть
-- аналитична в односвязной области
, охватываемой контуром
, и на самом
. Тогда для любой точки
справедливо:
-- формула связывает внутренние значения со значениями на контуре
Доказательство длинное и сложное
разобрать примеры
Интегральная формула Коши для сложного контура
Теорема17: пусть
-- аналитична в многосвязной области
, ограниченной сложным контуром
, и на самом этом контуре. Тогда ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image576.gif)
Доказательство с помощью разбиения на односвязные области и теоремы16 (легко)
Интеграл типа Коши
Пусть
-- непрерывна на
. Рассмотрим функцию
. Понятно, что если
, то подынтегральная функция
-- непрерывна на кривой
-- всегда существует
Итак, интеграл Коши, то есть ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image590.gif)
Теорема18: интеграл типа Коши есть функция аналитическая в любой точке своей области определения (
. Более того, эта функция является бесконечно дифференцируемой
![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image594.gif)
![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image596.gif)
![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image598.gif)
![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image600.gif)
Итак, ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image602.gif)
Докажем, что второе слагаемое
при
:
![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image607.gif)
Пусть
. Тогда ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image611.gif)
Поскольку
-- непрерывно на
, то оно ограничено на
, поэтому ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image617.gif)
Поэтому ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image619.gif)
Поэтому ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image621.gif)
Проведя аналогичные выкладки для
, получаем: ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image625.gif)
Далее по индукции можно получить: ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image627.gif)
Теорема19: пусть
-- аналитична в
. Тогда она в этой области имеет производные сколь угодно большого порядка
Пусть
, пусть
. Тогда по интегральной формуле Коши, ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image632.gif)
Значит, у нашей функции в точке
существует производная. По теореме18,
в точке
имеет производные сколь угодно большого порядка, причём вычислятся так: ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image634.gif)
В силу произвольности выбора точки
, это верно для любой точки
из области ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image052.gif)
Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций
Теорема20: пусть
, и члены этого ряда непрерывны на кривой
, и ряд равномерно сходится на этой кривой
. Тогда данный ряд можно почленно интегрировать вдоль этой кривой, причём справедливо: ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image640.gif)
Введём обозначения: ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image642.gif)
-- частичные суммы ряда (*)
-- частичные суммы ряда (**)
Если (*) -- функциональный ряд, то (**) -- числовой ряд
![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image650.gif)
Поэтому ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image652.gif)
Итак, равномерно сходящиеся ряды мы можем почленно интегрировать
Теорема21: рассмотрим ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image654.gif)
Пусть члены этого ряда есть функции аналитические в области
и пусть равномерная сходимость в
. Тогда
аналитична в
, и данный ряд можно почленно дифференцировать, причём справедливо равенство: ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image659.gif)
доказательство длинное
Ряд Тейлора
Теорема22: пусть
-- аналитична в круге ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image662.gif)
Тогда в этом круге наша функция раскладывается в степенной ряд, причём это разложение единственно
Про границу круга ничего не известно. Поэтому проведём окружность
,
лежит внутри:
![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image665.gif)
| -- аналитична внутри Г и на Г, поэтому по интегральной формуле Коши имеем: ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image667.gif)
|
![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image669.gif)
, и пусть
, тогда ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image674.gif)
![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image676.gif)
Тогда ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image678.gif)
Этот ряд равномерно сходится на
:
-- этот ряд сходится как геометрическая прогрессия с
. Тогда по признаку Вейерштрасса, наш ряд
павномерно сходится на ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image680.gif)
Итак, ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image687.gif)
Получим разложение по степеням, при этом ![](http://osinavi.ru/my/TFKP.files/image689.gif)
Полученный ряд будет рядом Тейлора, поскольку коэффициенты считаются по такой формуле
Единственность доказывается элементарно.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.