» » »

§ 9.3.1 Ряд Лорана.

Ряд Лорана

Представляет большой практический интерес исследование поведения функции вблизи изолированной особой точки, то есть точки, в окрестности которой функция аналитична, но в самой точке либо не аналитична, либо не определена. Степенной ряд здесь бесполезен, поэтому вводится более общий ряд Лорана:

\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n

Если область сходимости ряда Лорана не пуста, она представляет собой круговое кольцо: ~r<|z-z_0|<R.

Основная теорема: если функция f(z) аналитична в круговом кольце, то она может быть представлена в этом кольце сходящимся рядом Лорана, причём однозначно.

Как и для степенного ряда, границы кольца сходимости определяются распределением особых точек функции. По виду ряда Лорана можно сделать некоторые выводы о поведении функции вблизи точки z0.

  1. Устранимая особая точка: если ряд Лорана не содержит элементов с отрицательными степенями ~z-z_0. Тогда это просто степенной ряд, определяющий функцию в некотором круге, окружающем ~z_0. Сумма ряда в этом круге конечна и может отличаться от f(z) только в точке z0, так что достаточно переопределить ~f(z_0), чтобы функция стала аналитичной во всём круге. Имеет место следующий признак: если функция вблизи z0 аналитична и ограничена, то z0 — устранимая особая точка.
  2. Полюс: если ряд Лорана содержит конечное число элементов с отрицательными степенями ~z-z_0. В этом случае функция в точке z0 бесконечна (по модулю).
  3. Существенно особая точка: если ряд Лорана содержит бесконечное число элементов с отрицательными степенями ~z-z_0. В этом случае функция в точке z0 не может быть корректно определена так, чтобы быть непрерывной.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины