» » »

§ 9.3.2 Вычет функции.

Определение

Вычетом функции f(z) в a называется число

\mathop{\mathrm{Res}}_a\,f(z)=\lim_{\rho\to0}{1\over{2\pi.

Вычет в «бесконечности»

Вычетом в бесконечности называется комплексное число, равное

\mathop{\mathrm{Res}}_\infty\,f(z)=-\lim_{\rho\to\infty}{1\over{2\pi.

Вычет дифференциальной формы

Понятие вычета вводится не для функций, а для дифференциальных (1,\;0)-форм на сфере Римана:

\mathop{\mathrm{Res}}_a\,\omega=\lim_{\rho\to0}{1\over{2\pi.

Логарифмические вычеты

Интеграл {1\over{2\pi называется логарифмическим вычетом функции f(z) относительно контура L.

Способы вычисления вычетов

Согласно определению вычет может быть вычислен как контурный интеграл, однако в общем случае это довольно трудоёмко. Поэтому на практике пользуются, в основном, следствиями из определения:

  • В устранимой особой точке a\in, так же как и в точке регулярности, вычет функции f(z) равен нулю. В то же время для бесконечно удалённой точки это утверждение не верно. Например, функция f(z)=\frac{1}{z} имеет в бесконечности нуль первого порядка, однако, \mathop{\mathrm{Res}}_{\infty}\,\frac1{z}=-1. Причина этого в том, что форма \frac{dz}{z} имеет особенность как в нуле, так и в бесконечности.
  • В полюсе a кратности n вычет может быть вычислен по формуле:
\mathop{\mathrm{Res}}_a\,f(z)={1\over(n-1)!}\lim_{z\to,

частный случай n = 1

\mathop{\mathrm{Res}}_a\,f(z)=\lim_{z\to.
  • Если функция f(z)=\frac{g(z)}{h(z)} имеет простой полюс в точке a, где g(z) и h(z) голоморфные в окрестности a функции, h(a) = 0, g(a)\neq0, то можно использовать более простую формулу:
\mathop{\mathrm{Res}}_a\,f(z)=\frac{g(a)}{h^\prime(a)}.
  • Очень часто, особенно в случае существенно особых точек, удобно вычислять вычет пользуясь разложением функции в ряд Лорана. Например, \mathop{\mathrm{Res}}_0\,e^{1/z}=\mathop{\mathrm{Res}}_0\,\left(1+\frac1{z}+\frac1{2!z^2}+\ldots\right)=1, так как коэффициент при z − 1 равен 1.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины