Главная
»
Общенаучные дисциплины
»
Математика (3 семестр)
»
Вычет функции.
Вычет функции.
Определение
Вычетом функции f(z) в a называется число
.
Вычет в «бесконечности»
Вычетом в бесконечности называется комплексное число, равное
.
Вычет дифференциальной формы
Понятие вычета вводится не для функций, а для дифференциальных
-форм на сфере Римана:
.
Логарифмические вычеты
Интеграл
называется логарифмическим вычетом функции f(z) относительно контура L.
Способы вычисления вычетов
Согласно определению вычет может быть вычислен как контурный интеграл, однако в общем случае это довольно трудоёмко. Поэтому на практике пользуются, в основном, следствиями из определения:
- В устранимой особой точке
, так же как и в точке регулярности, вычет функции f(z) равен нулю. В то же время для бесконечно удалённой точки это утверждение не верно. Например, функция
имеет в бесконечности нуль первого порядка, однако,
. Причина этого в том, что форма
имеет особенность как в нуле, так и в бесконечности.
- В полюсе a кратности n вычет может быть вычислен по формуле:
,
частный случай n = 1
.
- Если функция
имеет простой полюс в точке a, где g(z) и h(z) голоморфные в окрестности a функции, h(a) = 0,
, то можно использовать более простую формулу:
.
- Очень часто, особенно в случае существенно особых точек, удобно вычислять вычет пользуясь разложением функции в ряд Лорана. Например,
, так как коэффициент при z − 1 равен 1.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.