Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией
вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.
Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной , называется функция
комплексной переменной s = σ + iω, такая что:
Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.
Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция
вещественной переменной, такая что:
где — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.
Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции участвуют значения x < 0.
Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:
Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.
Различают -преобразование и
-преобразование.
Пусть — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени
, где
— целое число, а
— период дискретизации.
Тогда применяя преобразование Лапласа получим:
Если применить следующую замену переменных:
получим Z-преобразование:
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.