Главная
»
Общенаучные дисциплины
»
Математика (3 семестр)
»
Преобразование Ла-Пласса.
Преобразование Ла-Пласса.
Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию
комплексного переменного (изображение) с функцией
вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.
Прямое преобразование Лапласа
Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной
, называется функция
комплексной переменной s = σ + iω, такая что:
![F(s)=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int\limits_0^\infty](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/5/9/b/59bc8e5e2b5682e385e72ba7828d80d2.png)
Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.
Обратное преобразование Лапласа
Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного
, называется функция
вещественной переменной, такая что:
![f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/b/a/6/ba6ea487c8f37d7ba8b9e07524760aba.png)
где
— некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.
Двустороннее преобразование Лапласа
Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции
участвуют значения x < 0.
Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:
![F(s)=\mathcal{L}\{f(x)\}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/0/d/8/0d851f501e81b3eb9d80bdf44edab945.png)
Дискретное преобразование Лапласа
Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.
Различают
-преобразование и
-преобразование.
-преобразование
Пусть
— решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени
, где
— целое число, а
— период дискретизации.
Тогда применяя преобразование Лапласа получим:
![\mathcal{D}\{x_d(t)\}=\sum\limits_{n=0}^\infty](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/7/4/7/7471ca57c21a0e8e6ff9d22da1dcbeb3.png)
-преобразование
Если применить следующую замену переменных:
- z = esT,
получим Z-преобразование:
![\mathcal{Z}\{x_d(t)\}=\sum\limits_{n=0}^\infty](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/c/0/0/c005b294ab8dcfe04796d21c885aeee6.png)
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.