» » »

§ 9.4.1 Преобразование Ла-Пласса.

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию \ комплексного переменного (изображение) с функцией \ вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной \, называется функция \ комплексной переменной s = σ + iω[1], такая что:

F(s)=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int\limits_0^\infty

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

[править]Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного F(s)\, называется функция f(t)\ вещественной переменной, такая что:

f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi

где \sigma_1\ — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

[править]Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции f(x)\ участвуют значения x < 0.

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

F(s)=\mathcal{L}\{f(x)\}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}

[править]Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.

Различают D\-преобразование и Z\-преобразование.

  • D\-преобразование

Пусть x_d(t)=\sum\limits_{n=0}^\infty — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени nT\, где n\ — целое число, а T\ — период дискретизации.

Тогда применяя преобразование Лапласа получим:

\mathcal{D}\{x_d(t)\}=\sum\limits_{n=0}^\infty
  • Z\-преобразование

Если применить следующую замену переменных:

z = esT,

получим Z-преобразование:

\mathcal{Z}\{x_d(t)\}=\sum\limits_{n=0}^\infty

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.