Интегральный признак Коши-Маклорена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши-Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.
Пусть для функции f(x) выполняется: Тогда ряд Формулировка теоремы
(функция принимает неотрицательные значения)
(функция монотонно убывает)
и несобственный интеграл
сходятся или расходятся одновременно.
О: Знакопеременным числовым рядом называется ряд
который содержит как положительные, так и отрицательные члены.
Знакочередующийся ч.р. является частным случаем знакопеременного ч.р.
Т. (признак абсолютной сходимости): Если для знакопеременного ч.р.сходится ряд
составленный из абсолютных величин его членов, то ряд
сходится
Обозначим— сумма положительных
членов в— сумма абсолютных величин отрицательных чле-
нов в
Тогда
Последовательности частичных суммвозрастают и ограничены, так как
поэтому
и
Данный ряд по определению сходится
Пример: Исследовать на сходимость ряд
Рассмотрим ряд из абсолютных величинкоторый сравним со сходящимся обобщенным гармоническим рядом
Так как
то
по первому признаку сравнения ряд из абсолютных величин сходится,
поэтому данный знакопеременный ряд сходится по признаку абсолютной
сходимости
Признак абсолютной сходимости является достаточным, но не необходимым. Например, рядсходится по признаку Лейбница
но ряд из абсолютных величин его членов
расходится.
О: Знакопеременный ч.р.называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
и условно сходящимся, если он сходится, хотя ряд
расходится.
Например, — абсолютно сходящийся ряд,
— условно сходящийся ряд.
Деление знакопеременных ч.р. на абсолютно и условно сходящиеся существенно. На абсолютно сходящиеся ч.р. переносятся все основные свойства конечных сумм. Особо важное свойство состоит в том, что сумма абсолютно сходящегося ч.р. не меняется при любой перестановке бесконечного числа его членов. В условно сходящемся ч.р. в результате такой перестановки можно получить расходящийся ряд
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.