Интегральный признак Коши-Маклорена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши-Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.

Формулировка теоремы

О: Знакопеременным числовым рядом называется ряд

который содержит как положительные, так и отрицательные члены.

Знакочередующийся ч.р. является частным случаем знакопеременного ч.р.

Т. (признак абсолютной сходимости): Если для знакопеременного ч.р.сходится ряд составленный из абсолютных величин его членов, то рядсходится

Обозначим— сумма положительных

членов в— сумма абсолютных величин отрицательных чле-

нов в

Тогда

Последовательности частичных суммвозрастают и ограничены, так какпоэтому

 и

Данный ряд по определению сходится

Пример: Исследовать на сходимость ряд

Рассмотрим ряд из абсолютных величинкоторый сравним со сходящимся обобщенным гармоническим рядомТак както по первому признаку сравнения ряд из абсолютных величин сходится, поэтому данный знакопеременный ряд сходится по признаку абсолютной сходимости

Признак абсолютной сходимости является достаточным, но не необходимым. Например, рядсходится по признаку Лейбницано ряд из абсолютных величин его членоврасходится.

О: Знакопеременный ч.р.называется абсолютно сходящимся, если сходится ряди условно сходящимся, если он сходится, хотя рядрасходится.

Например,  — абсолютно сходящийся ряд,

 — условно сходящийся ряд.

Деление знакопеременных ч.р. на абсолютно и условно сходящиеся существенно. На абсолютно сходящиеся ч.р. переносятся все основные свойства конечных сумм. Особо важное свойство состоит в том, что сумма абсолютно сходящегося ч.р. не меняется при любой перестановке бесконечного числа его членов. В условно сходящемся ч.р. в результате такой перестановки можно получить расходящийся ряд