» » »

8.1.2 Интегральный признак Маклорена-Коши. Знакопеременные ряды

Интегральный признак Маклорена - Коши

[править]

Интегральный признак Коши-Маклорена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши-Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на [1,\infty), последний часто может быть найден в явном виде.

Формулировка теоремы

Пусть для функции f(x) выполняется:

  1. \forall (функция принимает неотрицательные значения)
  2. \forall (функция монотонно убывает)
  3. \forall

Тогда ряд \sum_{n=1}^\infty и несобственный интеграл \int\limits_1^\infty\!f(x)\,dx сходятся или расходятся одновременно.


О: Знакопеременным числовым рядом называется рядsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5771.jpg

который содержит как положительные, так и отрицательные члены.

Знакочередующийся ч.р. является частным случаем знакопеременного ч.р.

Т. (признак абсолютной сходимости): Если для знакопеременного ч.р.src=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5772.jpgсходится рядsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5773.jpg составленный из абсолютных величин его членов, то рядsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5774.jpgсходится

Обозначимsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5775.jpg— сумма положительных

членов вsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5776.jpg— сумма абсолютных величин отрицательных чле-

нов вsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5777.jpg

Тогдаsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5778.jpg

src=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5779.jpg

Последовательности частичных суммsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5780.jpgвозрастают и ограничены, так какsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5781.jpgпоэтомуsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5782.jpg

src=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5783.jpg иsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5784.jpg

Данный ряд по определению сходится

Пример: Исследовать на сходимость ряд

src=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5785.jpg

Рассмотрим ряд из абсолютных величинsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5786.jpgкоторый сравним со сходящимся обобщенным гармоническим рядомsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5787.jpgТак какsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5788.jpgто по первому признаку сравнения ряд из абсолютных величин сходится, поэтому данный знакопеременный ряд сходится по признаку абсолютной сходимости

Признак абсолютной сходимости является достаточным, но не необходимым. Например, рядsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5789.jpgсходится по признаку Лейбницаsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5790.jpgно ряд из абсолютных величин его членовsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5791.jpgрасходится.

О: Знакопеременный ч.р.src=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5792.jpgназывается абсолютно сходящимся, если сходится рядsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5793.jpgи условно сходящимся, если он сходится, хотя рядsrc=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5794.jpgрасходится.

Например, src=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5795.jpg — абсолютно сходящийся ряд,

src=http://cadzone.ru/img/math/tmpB2E-5796.jpg — условно сходящийся ряд.

Деление знакопеременных ч.р. на абсолютно и условно сходящиеся существенно. На абсолютно сходящиеся ч.р. переносятся все основные свойства конечных сумм. Особо важное свойство состоит в том, что сумма абсолютно сходящегося ч.р. не меняется при любой перестановке бесконечного числа его членов. В условно сходящемся ч.р. в результате такой перестановки можно получить расходящийся ряд


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины