Главная » Общенаучные дисциплины » Математика (3 семестр) » Ряды. Основные понятия

Ряды. Основные понятия

Функциональный ряд

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция $\$ .

Существует функция $\$ такая, что: $\$

Факт равномерной сходимости последовательности $\$ к функции $\$ записывается: $\$

$\$

$\$ — n-ная частичная сумма.

Признак д’Аламбера

Ряд $\sum$

Пусть задан ряд $\sum_{n=1}^{\infty}$ и функция $f(x):$ такая, что:

Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}$ и интеграл $\int\limits_1^\infty$ сходятся или расходятся одновременно, причем $\forall$

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

$F(X)$

в котором коэффициенты $a n$ берутся из некоторого кольца $R$ .

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

Первая теорема Абеля: Пусть ряд $\Sigma$ сходится в точке $x 0$ . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге $| x | < | x 0 |$ и равномерно по $x$ на любом компактном подмножестве этого круга.

Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле:

${1\over$
Признак Д’Аламбера: Если при $n > N$ и $α > 1$ выполнено неравенство
$\left|$
тогда степенной ряд $\Sigma$ сходится во всех точках окружности $| x | = R$ абсолютно и равномерно по $x$ .
Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда $\Sigma$ положительны и последовательность $a n$ монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности $| x | = 1$ , кроме, быть может, точки $x = 1$ .

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Дисциплины