» » »

8.2.1 - Основные понятия

Функциональный ряд

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция \.

Равномерная сходимость

Существует функция \ такая, что: \

Факт равномерной сходимости последовательности \ к функции \ записывается: \

[править]Функциональный ряд

\

\ — n-ная частичная сумма.

Признак д’Аламбера

Ряд \sum

  1. Сходится абсолютно, если \varlimsup_{n
  2. Расходится, если \varliminf_{n
  3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых \varliminf_{n

Интегральный признак Коши — Маклорена

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^{\infty} и функция f(x): такая, что:

  • f(x) нестрого монотонно убывает: x_1
  • \forall

Тогда ряд \sum_{n=1}^{\infty} и интеграл \int\limits_1^\infty сходятся или расходятся одновременно, причем \forall

[править]

Степенной ряд

[править]

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

F(X)

в котором коэффициенты an берутся из некоторого кольца R.

Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

  • Первая теорема Абеля: Пусть ряд \Sigma сходится в точке x0. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге | x | < | x0 | и равномерно по x на любом компактном подмножестве этого круга.
  • Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле:
{1\over
  • Признак Д’Аламбера: Если при n > N и α > 1 выполнено неравенство
\left|
тогда степенной ряд \Sigma сходится во всех точках окружности | x | = R абсолютно и равномерно по x.
  • Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда \Sigma положительны и последовательность an монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности | x | = 1, кроме, быть может, точки x = 1.


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поделиться

Оплаченная реклама

Дисциплины