Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция
.
Равномерная сходимость
Существует функция
такая, что: ![\](http://upload.wikimedia.org/math/e/e/7/ee78eb4dc24018063a600a34c7e02e5c.png)
Факт равномерной сходимости последовательности
к функции
записывается: ![\](http://upload.wikimedia.org/math/9/4/9/9494e5814287826ae701581e24c68f26.png)
Функциональный ряд
![\](http://upload.wikimedia.org/math/b/6/2/b628338c8bb5c1c1f91b6fdd2c020184.png)
— n-ная частичная сумма.
Признак д’Аламбера
Ряд ![\sum](http://upload.wikimedia.org/math/b/e/0/be0039be18bed586c18185a69243ae83.png)
- Сходится абсолютно, если
![\varlimsup_{n](http://upload.wikimedia.org/math/2/d/e/2dec5b78c4d6f30bff1f5812b119affb.png)
- Расходится, если 1
- Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых
![\varliminf_{n](http://upload.wikimedia.org/math/3/2/c/32cdff56b7d417a5c542638c520e4c6b.png)
Интегральный признак Коши — Маклорена
Пусть задан ряд
и функция
такая, что:
- f(x) нестрого монотонно убывает:
![x_1](http://upload.wikimedia.org/math/e/7/1/e71ce29a729695995100631b0ee5bddd.png)
![\forall](http://upload.wikimedia.org/math/2/b/a/2ba23bac899a762af8b162a8ab4210a6.png)
Тогда ряд
и интеграл
сходятся или расходятся одновременно, причем ![\forall](http://upload.wikimedia.org/math/3/a/3/3a3323e3087087a15bcca5e750032d1f.png)
Степенной ряд